Gatavojoties \(13\) diplomātu apspriedei, krēsli tika izvietoti ap apaļu galdu vienādos attālumos un katrai no vietām tika sagatavota plāksnīte ar diplomāta vārdu. Diemžēl, ieņemot vietas pie galda, diplomāti šīs plāksnītes neņēma vērā un izrādījās, ka neviens no diplomātiem nav apsēdies pretī savai plāksnītei.
(A) Pierādīt: nepārsēdinot diplomātus, galdu ir iespējams pagriezt tā, ka
vismaz divi diplomāti atradīsies pret savām plāksnītēm.
(B) Pierādīt: ja sākumā tieši viens diplomāts būtu sēdējis pret savu
plāksnīti, tad ir iespējams, ka viņi apsēdušies tā, ka, pagriežot galdu, nav
iespējams panākt, ka pret savu plāksnīti atradīsies vairāk par vienu diplomātu.
(A) Apaļajam galdam pavisam ir \(13\) derīgas pozīcijas, kuras var iegūt galda pagriešanas par noteiktu vietu skaitu rezultātā. Katrs diplomāts pret savu plāksnīti atradīsies tikai vienā no šīm pozīcijām. Katrai galda pozīcijai \(i(1 \leq i \leq 13)\) ar \(p_{i}\) apzīmējot diplomātu skaitu, cik šajā pozīcijā atrodas pret savām plāksnītēm, iegūstam \(p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{13}=13\).
Zināms, ka viena no \(p_{i}\) vērtībām ir \(0\), jo sākuma neviens no diplomātiem neatrodas pretī savai plāksnītei. Pēc Dirihlē principa kādai no atlikušajām \(p_{j}\) vērtībām jābūt vismaz \(2\), t. i., ir vismaz divi diplomāti, kas kādā pozīcijā atrodas pretī savām plāksnītēm.
(B) Pieņemot, ka diplomāti numurēti ar naturāliem skaitļiem no \(1\) līdz \(13\) pēc kārtas un sēdināt tos ap galdu bija paredzēts pulkstenrādītāja virzienā (plāksnītes saliktas \(1-2-3-\ldots-12-13\)), tad diplomātiem pie galda apsēžoties, piemēram, šādi \(1-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2\), izpildās uzdevumā prasītais. Diplomātiem \(i\) un \(j\), ja \(i\) sēž savā vietā, tad \(j\)-tā plāksnīte atrodas \(j-i\) vietas pa labi, bet \(j\)-ais diplomāts atrodas \(j-i\) vietas pa kreisi. Tā kā \(13\) ir nepāra skaitlis, tad \(j\) nevar sēdēt pie savas plāksnītes.
Piezīme. Pavisam iespējami \(13723\) atšķirīgi diplomātu izvietojuma varianti ar iepriekšminēto īpašību.