Katram naturālam skaitlim \(n\) ir definēta funkcija \(f(n)=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\). Pierādīt, ka visiem \(n>1\) ir spēkā sakarība \(n+f(1)+f(2)+\ldots+f(n-1)=nf(n)\).
Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi. Ievērojam, ka \(f(1)=1\).
Indukcijas bāze. Ja \(n=2\), tad \(f(2)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\) un dotā sakarība \(2+f(1)=3=2f(2)\) ir patiesa.
Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka sakarība ir spēkā, ja \(n=k\):
\[\begin{equation*} k+f(1)+f(2)+\ldots+f(k-1)=kf(k) \tag{*} \end{equation*}\]
*Induktīvā pāreja.* Pierādīsim, ka sakarība ir spēkā, ja \(n=k+1\). Abām vienādības (*) pusēm pieskaitot \(f(k)+1\):\[1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{k}=f(k)+1\]
iegūstam\[\begin{aligned} & k+f(1)+f(2)+\ldots+f(k-1)+1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{k}=k f(k)+f(k)+1 \\ & (k+1)+1+\left(f(1)+\frac{1}{2}\right)+\left(f(2)+\frac{1}{3}\right)+\ldots+\left(f(k-1)+\frac{1}{k}\right)=(k+1)f(k)+1 \end{aligned}\]
Izmantojot, ka \(1=f(1)\) un \(f(k-1)+\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{k-1}+\frac{1}{k}=f(k)\), iegūstam \((k+1)+f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(k)=(k+1)f(k)+\frac{k+1}{k+1}\). Tātad \((k+1)+f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(k)=(k+1)\left(f(k)+\frac{1}{k+1}\right)=(k+1)f(k+1)\). Tā kā apgalvojums ir patiess, ja \(n=2\), un no tā, ka apgalvojums ir spēkā, ja \(n=k\), izriet, ka apgalvojums ir spēkā arī \(n=k+1\), secinām, ka apgalvojums ir spēkā visām naturālām \(n(n>1)\) vērtībām.