Atrisinājums

Apzīmēsim riņķa līniju, kuras diametrs ir \(AB\) ar \(R_{1}\), kuras diametrs ir \(AC\) - ar \(R_{2}\) un kuras diametrs ir \(BC\) - ar \(R_{3}\) (skat. A5.zīm.).

Šīs riņķa līnijas katra iet caur attiecīgās malas galapunktiem un caur to augstumu pamatiem, kas atrodas uz divām pārējām malām vai to pagarinājumiem:

• \(R_{1}\) iet caur punktiem \(A,\ R,\ B\) un \(P\);
• \(R_{2}\) - caur \(A,\ R,\ C\) un \(Q\);
• \(R_{3}\) - caur \(B,\ C,\ Q\) un \(P\),

pie kam \(\sphericalangle BPC=\sphericalangle BQC=\sphericalangle ARB=90^{\circ}\). Punkts \(A\) atrodas trijstūra \(PQR\) iekšpusē (\(CP\) un \(BQ\) krustpunktā:

• gan \(AP\), gan \(CP\) ir perpendikulārs pret \(BP\left(R_{1}\right.\) un \(R_{3}\) īpašības) - tātad \(P,\ A\) un \(C\) atrodas uz vienas taisnes;
• gan \(AQ\), gan \(BQ\) ir perpendikulārs pret \(CQ\) (\(R_{2}\) un \(R_{3}\) īpašības) - tātad \(B,\ A\) un \(Q\) atrodas uz vienas taisnes).

No \(R_{1}\) ievilkto leņķu īpašībām: \(\sphericalangle ABP=\sphericalangle ARP\), jo abi balstās uz viena un tā paša loka \(AP\).

No \(R_{2}: \sphericalangle ARQ=\sphericalangle ACQ\) (abi balstās uz loka \(AQ\))

No \(R_{3}: \sphericalangle PBQ=\sphericalangle PCQ\) (abi balstās uz loka \(PQ\))

Ievērojot, ka \(\sphericalangle ABP=\sphericalangle QBP\) un \(\sphericalangle ACQ=\sphericalangle PCQ\), iegūstam, ka \(\sphericalangle ARP=\sphericalangle ARQ\). Tātad \(RA\) ir \(\sphericalangle PRQ\) bisektrise.

No \(R_{2}\) ievilkto leņķu īpašībām: \(\sphericalangle AQR=\sphericalangle ACR\) (abi balstās uz \(AR\))

No \(R_{3}: \sphericalangle PQB=\sphericalangle PCB\) (abi balstās uz \(BP\))

Ievērojot, ka \(\sphericalangle ACR=\sphericalangle PCB\), iegūstam, ka \(\sphericalangle PQB=\sphericalangle AQR\). Tātad \(QA\) ir \(\sphericalangle PQR\) bisektrise.

Tātad divas no trijstūra \(PQR\) bisektrisēm krustojas punktā \(A\) - tātad \(A\) ir trijstūra \(PQR\) bisektrišu krustpunkts, kas arī bija jāpierāda.