LV.VOL.2014.10.4 lv
Divas dažāda rādiusa riņķa līnijas ar centriem punktos \(B\) un \(C\) ārēji saskaras punktā \(A\). Abu riņķa līniju kopējā pieskare, kas neiet caur punktu \(A\), pirmajai riņķa līnijai pieskaras punktā \(D\), bet otrai - punktā \(E\). Taisne, kas novilkta caur \(A\) perpendikulāri \(DE\), krusto nogriežņa \(BC\) vidusperpendikulu punktā \(F\). Pierādīt, ka \(BC=2AF\).
Atrisinājums
Apzīmējam \(AB=r\) un \(AC=R\).
Tad \(BC=AB+BC=r+R\) un jāpierāda, ka \(AF=\frac{BC}{2}=\frac{r+R}{2}\).
No nogriežņa vidusperpendikula definīcijas seko, ka \(BH=HC=\frac{BC}{2}=\frac{r+R}{2}\).
No punkta \(H\) novelkam perpendikulu pret \(DE\), perpendikula un \(DE\) krustpunktu apzīmējam ar \(X\) (skat. A2.zīm.).
Nogrieznis \(HX\) ir trapeces \(DBCE\) (\(BD \parallel EC\) kā rādiusi pret pieskari \(DE\)) viduslīnija, tātad \(HX=\frac{BD+CE}{2}=\frac{r+R}{2}\) un \(DX=EX\).
Nogrieznis \(HX\) ir paralēls \(AF\), jo \(HX \perp DE\) un \(AF \perp DE\).
Novelkam abu riņķu kopējo pieskari, kas iet caur \(A\) - šī pieskare krusto \(DE\) punktā \(Y\). Tā kā \(BC \perp AY\) un \(BC \perp FH\), tad \(AY \parallel FH\).
Izmantojot pieskaru, kas vilktas no viena punkta pret riņķa līniju, īpašību, iegūstam \(EY=AY\) un \(DY=AY\). Tātad \(DY=EY\) un \(Y\) ir \(DE\) viduspunkts. Sanāk, ka \(X\) un \(Y\) ir viens un tas pats punkts, jo abi atrodas \(DE\) viduspunktā.
Apskatām četrstūri \(AFHX\), tā pretējās malas ir pa pāriem paralēlas. Tātad \(AFHX\) ir paralelograms.
Tātad \(AF=HX=\frac{r+R}{2}\) kā paralelograma pretējās malas. Līdz ar to esam pierādījuši vajadzīgo.