Dota virkne \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\), kur \(a_{1}=a_{2}=1\) un visiem \(n > 2\) izpildās
\[a_{n+1}=\left[\frac{2 a_{n}+a_{n-1}}{3}\right]+4\]
Aprēķināt \(a_{2013}\). ( \([x]\) ir veselā daļa no \(x\)- lielākais veselais skaitlis, kas nepārsniedz \(x\); piemēram, \([3]=3,[4,6]=4,[0,2]=0\) u.tml.)Aplūkojam virknes pirmos locekļus: \(a_{1}=1\), \(a_{2}=1\), \(a_{3}=\left[\frac{2 \cdot 1+1}{3}\right]+4=5\), \(a_{4}=\left[\frac{2 \cdot 5+1}{3}\right]+4=7\), \(a_{5}=\left[\frac{2 \cdot 7+5}{3}\right]+4=10\), \(a_{6}=\left[\frac{2 \cdot 10+7}{3}\right]+4=13\), \(a_{7}=\left[\frac{2 \cdot 13+10}{3}\right]+4=16\).
Var ievērot, ka visiem \(i \geq 4 \quad a_{i}=3i-5\). Pierādīsim to ar matemātisko indukciju.
Bāze. \(a_{4}=3 \cdot 4-5=7\) un \(a_{5}=3 \cdot 5-5=10\).
Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka visiem \(k < n\) ir spēkā \(a_{k}=3k-5\).
Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ka arī \(a_{n}=3n-5\).
\(a_{n}=\left[\frac{2 \cdot a_{n-1}+a_{n-2}}{3}\right]+4=\left[\frac{2 \cdot(3(n-1)-5)+3(n-2)-5}{3}\right]+4=\left[\frac{2 \cdot(3 n-8)+3 n-11}{3}\right]+4=\)
\(=\left[\frac{9 n-27}{3}\right]+4=3n-9+4=3n-5\)
Apgalvojums pierādīts.
Tātad \(a_{2013}=3 \cdot 2013-5=6034\).