Ar \(d_{i}, i=1,2, \ldots, k\), apzīmēsim visus naturālā skaitļa \(n\) naturālos dalītājus, pie tam \(d_{1} < d_{2} < d_{3} < \ldots < d_{k}\).
Dots, ka \(d_{3}^{2}d_{4}^{2}\left(d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)=n^{2}\). Atrast visas iespējamās \(n\) vērtības.
Pārveidosim doto vienādību formā \(d_{3}^{2}+d_{4}^{2}=\left(\frac{n}{d_{3} d_{4}}\right)^{2}\). Tā kā \(\frac{n}{d_{3}d_{4}}\) ir naturāls skaitlis, tas arī ir skaitļa \(n\) dalītājs. Aplūkojot vienādojumu \(x^{2}+y^{2}=z^{2}x^{2}+y^{2}=z^{2}\) pēc moduļa \(3\), iegūstam, ka viens no skaitļiem \(x, y, z\) dalās ar \(3\) (naturāla skaitļa kvadrāts pēc moduļa \(3\) var būt kongruents tikai ar \(0\) vai \(1\)). Aplūkojot vienādojumu \(x^{2}+y^{2}=z^{2}\) pēc moduļa \(8\), redzam, ka viens no skaitļiem \(x, y, z\) dalās ar \(4\) (naturāla skaitļa kvadrāts pēc moduļa \(8\) var būt kongruents tikai ar \(0,1\) vai \(4\)).
Tātad skaitlim \(n\) mazākie dalītāji ir \(1,2,3\) un \(4\), t.i., \(d_{1}=1, d_{2}=2, d_{3}=3, d_{4}=4\) un \(n^{2}=d_{3}^{2} d_{4}^{2}\left(d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)=3^{2} \cdot 4^{2}\left(3^{2}+4^{2}\right)=3^{2} \cdot 4^{2} \cdot 5^{2}=(3 \cdot 4 \cdot 5)^{2}=60^{2} \Rightarrow n=60\).