Atrisinājums

Apzīmēsim \(NM\) krustpunktus ar malām \(AB\) un \(AC\) attiecīgi ar \(K\) un \(L\) (skat. 10.zīm.).

Tā kā \(N\) un \(M\) ir attiecīgo loku viduspunkti, tad leņķi, kas balstās uz vienādiem lokiem, ir vienādi:

\(\sphericalangle ABN=\sphericalangle CBN=\sphericalangle CMN=\alpha\) un \(\sphericalangle ACM=\sphericalangle BCM=\sphericalangle BNM=\beta\).

Trijstūra \(BKN\) virsotnes \(K\) ārējais leņķis ir \(\sphericalangle AKL=\sphericalangle KBN+\sphericalangle KNB=\alpha+\beta\), bet trijstūra \(CLN\) virsotnes \(L\) ārējais leņķis \(\sphericalangle ALK=\sphericalangle CML+\sphericalangle LCM=\alpha+\beta\). Tātad trijstūrī \(AKL\) divi leņķi ir vienādi, tāpēc trijstūris \(AKL\) ir vienādsānu. Pēc konstrukcijas \(AD\) ir trijstūru \(ABC\) un \(AKL\) bisektrise (\(D\) ir bisektrišu \(CM\) un \(BN\) krustpunkts). Bet vienādsānu trijstūra bisektrise, kas vilkta pret pamatu, vienlaikus ir arī augstums. Tātad \(AD \perp KL\) jeb \(AD \perp MN\), k.b.j.