Parādīt, ka no visiem trīsciparu skaitļiem, kuru pierakstā nav cipara \(0\), var izvēlēties \(81\) trīsciparu skaitli tā, lai vienlaicīgi izpildītos šādas trīs īpašības:
visos izvēlētajos skaitļos izsvītrojot pirmo ciparu, katrs divciparu skaitlis, kas nesatur \(0\), tiek iegūts tieši vienu reizi;
visos izvēlētajos skaitļos izsvītrojot otro ciparu, katrs divciparu skaitlis, kas nesatur \(0\), tiek iegūts tieši vienu reizi;
visos izvēlētajos skaitļos izsvītrojot trešo ciparu, katrs divciparu skaitlis, kas nesatur \(0\), tiek iegūts tieši vienu reizi.
Meklēto \(81\) skaitli varam atrast, piemēram, sekojošā veidā konstruējot \(9\) grupas par \(9\) skaitļiem katrā grupā.
| 1. grupa | 2.grupa | ... | \(\boldsymbol{i}\)-tā grupa | ... | 9.grupa |
|---|---|---|---|---|---|
| \(111\) | \(212\) | \(\overline{\mathrm{ili}}\) | \(919\) | ||
| \(122\) | \(223\) | \(\overline{\overline{i2(i+1)}}\), ja \(i<9\), vai \(\overline{i2(i+1-9)}\), ja \(i \geq 9\) | \(921\) | ||
| \(133\) | \(234\) | \(\overline{i3(i+2)}\), ja \(i<8\), vai \(\overline{i3(i+2-9)}\), ja \(i \geq 8\) | \(932\) | ||
| \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | ||
| \(199\) | \(291\) | \(\overline{i9(i-1)}\), ja \(i>1\), vai \(199\), ja \(i=1\) | \(998\) |
Viegli pārbaudīt, ka minētie skaitļi apmierina uzdevuma nosacījumus.