Doti \(4023\) kvadrātvienādojumi formā \(x^{2}+ax+b=0\). Starp visu vienādojumu \(a\) vērtībām sastopami visi veselie skaitļi no \(-2011\) līdz \(2011\) (ieskaitot), tāpat arī starp \(b\) vērtībām sastopami visi veselie skaitļi no \(-2011\) līdz \(2011\) (ieskaitot). Vai var gadīties, ka visiem dotajiem vienādojumiem saknes ir veseli skaitļi?
Apskatām vienādojumu, kuram \(b=2011\), t.i., \(x^{2}+ax+2011=0\). Pēc Vjeta teorēmas, ja \(x_{1}\) un \(x_{2}\) ir šī vienādojuma saknes, tad \(x_{1}x_{2}=2011\) un \(x_{1}+x_{2}=-a\). Tā kā \(2011\) ir pirmskaitlis, ja \(x_{1}\) un \(x_{2}\) ir veseli skaitļi, tad vai nu \(x_{1}\) un \(x_{2}\) ir \(1\) un \(2011\) (tātad \(a=-2012\)), vai \(x_{1}\) un \(x_{2}\) ir \(-1\) un \(-2011\) (tātad \(a=2012\)). Tā kā \(-2011 \leq a \leq 2011\), apskatāmajam vienādojumam nav veselu sakņu ne pie kādām pieļaujamajām \(a\) vērtībām. Tāpēc nav iespējams, ka visiem dotajiem vienādojumiem saknes ir veseli skaitļi.