LV.VOL.2011.11.5 lv
Plaknē doti \(n\) punkti. Zināms, ka jebkura trijstūra laukums, kura virsotnes atrodas šajos punktos, nepārsniedz \(1~\mathrm{cm}^{2}\). Pierādīt, ka var uzzīmēt trijstūri ar laukumu \(4~\mathrm{cm}^{2}\) tā, ka visi dotie punkti atradīsies šī trijstūra iekšpusē vai uz tā malām.
Atrisinājums
No visiem trijstūriem ar virsotnēm dotajos punktos izvēlamies trijstūri \(ABC\) ar vislielāko laukumu (vai vienu no šādiem trijstūriem. ja to ir vairāk). Caur katru trijstūra \(ABC\) virsotni novilksim taisni, kas ir paralēla trijstūra pretējai malai. Šīs taisnes krustojas punktos \(K,\ L,\ M\) (skat. 10.zīm.).
Aplūkosim taisni \(KL\). Tā dala plakni divās pusplaknēs. Pierādīsim, ka visi dotie punkti atrodas tajā pusplaknē, kurā atrodas trijstūris \(ABC\). Tiešām, ja kāds no dotajiem punktiem \(P\) atrastos pretējā pusē, tad trijstūra \(ABP\) laukums būtu lielāks par trijstūra \(ABC\) laukumu (šiem trijstūriem ir vienādi pamati, bet trijstūra \(ABP\) augstums ir lielāks par trijstūra \(ABC\) augstumu). Līdzīgi, aplūkojot taisnes \(ML\) un \(MK\), mēs secinām, ka visi dotie punkti pieder trijstūrim \(MKL\). Tā kā \(S_{MKL}=4 \cdot S_{ABC} \leq 4~\mathrm{cm}^{2}\), tad prasītais apgalvojums pierādīts.