Naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(k\) kaut kādā secībā ir uzrakstīti pa apli (katrs tieši vienu reizi). Zināms, ka katram \(d\), \(2 \leq d \leq k-1\), izpildās sekojoša īpašība: dalot ar \(k\) visas iespējamās \(d\) pēc kārtas sekojošu skaitļu summas, iegūst visus iespējamos atlikumus.
Vai ir iespējams, ka (A) \(k=7\), (B) \(k=8\)?
(A) To var izdarīt, piemēram, izvietojot skaitļus pa apli pēc kārtas: \(1234567\).
Tā kā mums svarīgs tikai atlikums, dalot ar \(7\), tad vajadzības gadījumā pēc \(7\) sekojošos skaitļus \(1, 2 , 3 \ldots\) varam aizvietot ar \(8, 9, 10 \ldots\) un uzskatīt, ka visas blakusesošo skaitļu summas ir secīgu naturālu skaitļu summas:
\[m+(m+1)+\ldots+(m+d-1)=\frac{(2m+d-1)d}{2}=md+\frac{(d-1)d}{2}\]
Pie fiksēta \(d\), paņemot divus dažādus \(m\) : \(m_{1} < m_{2}\), šo vērtību atlikumi nevar sakrist, jo to starpība \(\left(m_{2}-m_{1}\right)d\) ar \(7\) nedalās ( \(d\) ir skaitlis no \(2\) līdz \(6\), \(\left(m_{2}-m_{1}\right)\)- skaitlis no \(1\) līdz \(6\)). Tāpēc visām dažādām \(m\) vērtībām no \(1\) līdz \(7\) visi atlikumi ir dažādi, tātad katrs no tiem parādās tieši vienu reizi. **(B)** To nevar izdarīt. Nevar pat panākt, lai aprakstītā īpašība izpildītos pie \(d=2\): visu dažādo divu blakusesošo elementu summu summa ir \(2(1+2+\ldots+8)=72\), kas dalās ar \(8\), bet visu iespējamo atlikumu, dalot ar \(8\), summa ir \(0+1+2+\ldots+7=28\), kas ar \(8\) nedalās.