Atrisinājums

Izmantosim īpašību, ka ja diviem trijstūriem ir vienādi augstumi, tad pamatu garumu attiecība ir vienāda ar trijstūru laukumu attiecību. No trijstūru mediānu attiecībām iegūstam, ka

\(L_{OAG}=L_{OGC}=L_{OAF}=L_{OFB}=L_{OBK}=L_{OCK}=L^{*}\)

Vienlielus trijstūrus apzīmēsim ar vienādiem cipariem, mūs interesējošos trijstūrus atzīmēsim ar \(x\) un \(y\) (skat. 10.zīm.).

\(L_{ADO}=L_{ODC}\), tātad \(L_{2}=L_{x}+L_{5} \tag{1}\) \ un \(L_{AOE}=L_{OEB}\), tātad \(L\){3}=L{y}+L_{6} \tag{2}\( \\ \)\frac{L_{ADC}}{L_{ADB}}=\frac{CP}{CB-CP}=\frac{BQ}{CB-BQ}=\frac{L_{ABE}}{L_{ACE}}\(. 

\[\begin{align*} & \frac{2L_{1}}{L_{2}+2L^{*}}=\frac{2L_{4}}{L_{3}+2L^{*}} \\ & \frac{2L_{1}}{3L^{*}-L_{1}}=\frac{2L_{4}}{3L^{*}-L_{4}} \end{align*}\]

Tātad \)L_{1}=L_{4}\( un \)L_{2}=L_{3} \tag{3}\(. \)L_{AOJ}=2L_{OJK}}\( un \)L_{OHA}=2L_{OHK}\( \)L_{3}+L_{y}=2L_{8} \tag{4}\( \\ un \)L_{2}+L_{x}=2L_{7} \tag{5}\( \\ \)\frac{L_{ABJ}}{L_{AKJ}}=\frac{L_{ACH}}{L_{AHK}}\( \\ \)\frac{2L_{4}+L_{6}}{L_{3}+L_{y}+L_{8}}=\frac{2L_{1}+L_{5}}{L_{2}+L_{x}+L_{7}}\( Izmantojot vienādības (4) un (5), iegūstam: \)\frac{2L_{4}+L_{6}}{\frac{3}{2}\left(L_{3}+L_{y}\right)}=\frac{2L_{1}+L_{5}}{\frac{3}{2}\left(L_{2}+L_{x}\right)}\(. Pareizinām abas puses ar \)\frac{3}{2}\( un ievietojam \)L_{6}=L_{3}-L_{y}\( (no (1)), un \)L_{5}=L_{2}-L_{x}\( (no (2)):

\[\frac{2L_{4}+L_{3}-L_{y}}{\left(L_{3}+L_{y}\right)}=\frac{2L_{1}+L_{2}-L_{x}}{\left(L_{2}+L_{x}\right)}\]

No (3) ievietojam \)L_{4}=L_{1}\( un \)L_{3}=L_{2}\(:

\[\begin{aligned} & \frac{2L_{1}+L_{2}-L_{y}}{\left(L_{2}+L_{y}\right)}=\frac{2L_{1}+L_{2}-L_{x}}{\left(L_{2}+L_{x}\right)} \\ & 2\left(L_{1}+L_{2}\right)\left(L_{x}-L_{y}\right)=0 \end{aligned}\]

\)L_{1}+L_{2} \neq 0\(, tad jābūt \)L_{x}-L_{y}=0\( jeb \)L_{x}=L_{y}$, k.b.j.