Dota skaitļu virkne \(a_{1}=1\); \(a_{2}=1\); \(a_{i}=p \cdot a_{i-1}+q \cdot a_{i-2}\) pie \(i \geq 3\) (\(p,q\)- doti naturāli skaitļi). Zināms, ka katram naturālam skaitlim \(n\) eksistē tāds virknes loceklis \(a_{k}\), ka \(a_{k}\) dalās ar \(n\).
Pierādīt, ka \(p=q=1\).
Apskatīsim virknes, kurām vismaz viens no koeficientiem \(p\) vai \(q\) ir lielāks nekā \(1\) jeb \(p+q > 2\). Ar matemātisko indukciju pierādīsim, ka visi virknes \(\left\{a_{i}\right\}\) locekļi dod atlikumu \(1\), dalot ar \(p+q-1\) (tā kā \(p+q > 2\), tad \(p+q-1 > 1\)).
Indukcijas bāze:
\(a_{1}=a_{2}=1\), tātad atlikums, dalot tos ar \(p+q-1\), arī ir \(1\).
Induktīvais pieņēmums:
Pieņemsim, ka katram \(i \leq k\) dotās virknes loceklis \(a_{i}\) dod atlikumu \(1\), dalot ar \(p+q-1\).
Induktīvā pāreja:
Apskatīsim virknes locekli \(a_{k+1}\) pēc moduļa \(p+q-1\):
Saskaņā ar induktīvo pieņēmumu, \(a_{k}\) un \(a_{k-1}\) dod atlikumu \(1\), dalot ar \(p+q-1\).
Tātad \(a_{k+1}=p \cdot a_{k}+q \cdot a_{k-1} \equiv p \cdot 1+q \cdot 1=p+q=(p+q-1)+1\), t.i., \(a_{k+1}\) arī dod atlikumu \(1\), dalot ar \(p+q-1\).
Tātad, ja \(p+q > 2\), ir tāda \(n\) vērtība \(n=p+q-1\), kurai neviens virknes \(\left\{a_{i}\right\}\) loceklis nedalās ar \(n\).
Tā kā zināms, ka katram naturālam skaitlim \(n\) eksistē tāds virknes loceklis \(a_{k}\), ka \(a_{k}\) dalās ar \(n\), tad nevar būt \(p+q > 2\). Bet \(p\) un \(q\) ir naturāli skaitļi, tātad \(p=q=1\).
Piezīme. Pie \(p=q=1\) tiek iegūta Fibonači skaitļu virkne, kurai minētās īpašības pierādījums dots 11.4.uzdevuma risinājumā.