LV.VOL.2010.11.3 lv
Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) nogriežņi \(BQ\) un \(CP\) ir augstumi. Caur punktiem \(A, P\) un \(Q\) ir novilkta riņķa līnija \(\omega\). No punkta \(Q\) pret taisni \(AB\) vilktais perpendikuls krusto riņķa līniju \(\omega\) punktā \(T\). Zināms, ka \(TB\) ir r.l. \(\omega\) pieskare un \(AT=TB\). Pierādīt, ka \(AB=AC\).
Atrisinājums
1) No dotā seko, ka \(\triangle ATB\) ir vienādsānu un \(\sphericalangle TAB=\sphericalangle TBA\) (skat. 8.zīm.).
\(\sphericalangle BTP=\sphericalangle TAP\) (рēc hordas-pieskares un ievilktā leņķa īpašībām), Tāpēc \(\sphericalangle BTP=\sphericalangle TBP\) un \(\triangle BPT\) ir vienādsānu, t. i., \(\underline{TP=BP}\).
2) No tā, ka \(\triangle ATB\) ir vienādsānu, seko, ka \(AM=MB\). No tā un no \(MQ \perp AB\) savukārt seko, ka \(\triangle BQA\) ir vienādsānu. Tāpēc \(\sphericalangle BAQ=\sphericalangle ABQ=45^{\circ}\). \(\sphericalangle PTQ=\sphericalangle PAQ\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz vienu loka. Tādē] \(\underline{\sphericalangle PTQ=\sphericalangle PBQ}\).
No tā, ka \(\sphericalangle BTP=\sphericalangle TBP\) un \(\sphericalangle PTQ=\sphericalangle PBQ\), seko, ka \(\sphericalangle BTQ=\sphericalangle TBQ\).
Tāpēc \(\triangle TBQ\) ir vienādsānu un \(TQ=BQ\). No tā un no 1), 2) seko, ka \(\triangle TPQ=\triangle BPQ\). Tāpēc \(\sphericalangle TQP=\sphericalangle BQP\) (*).
No \(\sphericalangle BMQ=\sphericalangle BPC=90^{\circ}\) izriet, ka \(PC || TQ\). Tāpēc \(\underline{\sphericalangle QPC=\sphericalangle TQP}\). Savukārt ap \(Q, P, B\) un \(C\) var apvilkt riņķa līniju, jo \(\sphericalangle BQC=\sphericalangle BPC=90^{\circ}\). Tādēļ šajā riņķa līnijā \(\underline{\sphericalangle QPC=\sphericalangle QBC}\) un \(\underline{\sphericalangle PQB=\sphericalangle PCB}\) abos gadījumos kā leņķi, kas balstās uz vienu loku. No tā un no (*) iegūstam, ka \(\underline{\sphericalangle QBC=\sphericalangle PCB}\).
Tālāk \(\sphericalangle ACP=90^{\circ}-\sphericalangle PAC=45^{\circ}=\sphericalangle ABQ\). Iegūstam, ka \(\sphericalangle QBC+\sphericalangle ABQ=\sphericalangle PCB+\sphericalangle ACP\) vai \(\sphericalangle ABC=\sphericalangle ACB\), no kā seko vajadzīgais.
