Atrisinājums

Ar \(E\) apzīmēsim no virsotnes \(A\) vilktā augstuma pamatu, ar \(F\)- malas \(BC\) viduspunktu. Pierādīsim, ka \(D\) atrodas starp \(E\) un \(F\) (vai ar tiem sakrīt, ja \(ABC\) ir vienādsānu trijstūris) (skat. 6.zīm.).

Ja \(AC=AB\) tad punkti \(E, D\) un \(F\) sakrīt. Ja malas ir dažādas, tad varam pieņemt, ka \(AC < AB\) (otru gadījumu analizē līdzīgi). Tā kā \(AD\) ir bisektrise, tad no bisektrišu īpašības seko, ka \(\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB} < 1=\frac{CF}{FB}\), tātad \(D\) ir pa kreisi (skat. 6.zīm.) no punkta \(F\).

Lietojot Pitagora teorēmu, iegūstam

\(\frac{CE^{2}}{EB^{2}}=\frac{AC^{2}-AE^{2}}{AB^{2}-AE^{2}} < \frac{AC^{2}}{AB}\), tātad punkts \(E\) atrodas pa kreisi no punkta \(F\).

\(EM\) it taisnleņķa trijstūra \(AEB\) mediāna, tāpēc \(EM=AM=MB\). Līdzīgi \(EN\) ir taisnleņķa trijstūra \(AEC\) mediāna, tāpēc \(EN=AN=NC\). Tātad \(\triangle ANM=\triangle ENM\) ( \(mmm\) ), no kurienes seko, ka \(\sphericalangle NAM=\sphericalangle NEM\). Tā kā \(N, M\) un \(F\) ir attiecīgi malu \(AC, AB\) un \(BC\) viduspunkti, tad \(\triangle ANM=\triangle FMN\) ( \(mmm\) ), tāpēc \(\sphericalangle NAM=\sphericalangle NFM\). Tātad \(\sphericalangle NEM=\sphericalangle NAM=\sphericalangle NFM\), tāpēc caur punktiem \(E, \)N, M\( un \)F\( var novilkt riņķa līniju. Ja punkti \)E\( un \)F\( sakrīt (\)ABC\( vienādsānu) tad \)\sphericalangle NAM=\sphericalangle NDM\(. Ja \)E\( un \)F\( ir dažādi punkti, tad \)D\( atrodas riņķa iekšpusē uz hordas \)EF\(, tātad \)\sphericalangle NDM > \sphericalangle NEM=\sphericalangle NAM$.