LV.VOL.2009.12.4 lv
Uz kādas planētas izmanto \(2009\) valodas. Vai var izveidot vārdnīcu sistēmu tā, lai vienlaicīgi izpildītos \(3\) īpašības:
(A) katra vārdnīca ļauj tulkot no vienas valodas uz kādu citu, bet ne pretējā virzienā,
(B) ja ir vārdnīca, kas ļauj tulkot no kādas valodas \(A\) uz kādu citu valodu \(B\), tad nav vārdnīcas, kas ļauj tulkot no \(B\) uz \(A\),
(C) no katras valodas uz katru citu var pārtulkot, izmantojot vai nu vienu, vai divas vārdnīcas? (Pieļaujamas vairākkārtīgas tulkošanas, piemēram, no \(A\) un \(B\) un tālāk no \(B\) uz \(C\).)
Atrisinājums
Pierādīsim, ka tāda vārdnīcu sistēma iespējama jebkuram nepāra skaitam valodu \(n,\ n \geq 3\).
Bāze. Pie \(n=3\) rīkojamies, kā redzams 9.zīm.
Induktīvā pāreja. Pieņemsim, ka \(k\) valodām vārdnīcu shēma ietverta apgabalā \(Q\) (10.zīm.)
Pievienojot vēl \(2\) valodas \(A\) un \(B\), izveidojam shēmu, kas redzama 11.zīm.:
- ieviešam vārdnīcas, kas ļauj tulkot no \(A\) uz katru no iepriekšējām \(k\) valodām;
- ieviešam vārdnīcas, kas ļauj tulkot no katras no iepriekšējām \(k\) valodām uz \(B\);
- ieviešam vārdnīcu, kas ļauj tulkot no \(B\) uz \(A\).
To, ka papildinātā vārdnīcu sistēma apmierina uzdevuma prasības \(k+2\) valodām, pārbauda tieši, apskatot visas iespējas. Uzdevums atrisināts.
