Turnīrā piedalījās \(12\) tenisisti. Katrs ar katru citu spēlēja tieši vienu reizi; katrā spēlē viens no tās dalībniekiem uzvarēja, bet otrs zaudēja. Dalībnieku uzvaru un zaudējumu daudzumus apzīmēsim attiecīgi ar \(x_{1}\) un \(y_{1};\ x_{2}\) un \(y_{2};\ \ldots;\ x_{12}\) un \(y_{12}\). Pierādīt, ka
\[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{12}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots+y_{12}^{2}\]
Skaidrs, ka \(x_{1}+y_{1}=x_{2}+y_{2}=\ldots=x_{12}+y_{12}=11\) un
\(x_{1}+\ldots+x_{12}=y_{1}+\ldots+y_{12}\) (katrā spēlē viens uzvar un viens
zaudē). Tāpēc \(y_{1}+\ldots+y_{12}=12 \cdot 11 \cdot \frac{1}{2}\) un
\(x_{1}^{2}+\ldots+x_{12}^{2}=\left(11-y_{1}\right)^{2}+\ldots+\left(11-y_{12}\right)^{2}=121 \cdot 12-22\left(y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{12}\right)+\left(y_{1}^{2}+\ldots+y_{12}^{2}\right)=\)
\(=121 \cdot 12-22 \cdot 12 \cdot 11 \cdot \frac{1}{2}+\left(y_{1}^{2}+\ldots+y_{12}^{2}\right)=y_{1}^{2}+\ldots+y_{12}^{2}\),
k.b.j.