Dotas \(27\) lodītes. Uz tām uzrakstīti numuri - naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(27\) (uz katras lodītes - cits skaitlis). Lodītes kaut kā saliktas baltā, sarkanā un melnā kastē (katra lodīte ir vienā kastē). Zināms, ka baltajā kastē esošo lodīšu numuru vidējais aritmētiskais ir \(15\); sarkanajā kastē esošo lodīšu numuru vidējais aritmētiskais ir \(3\); melnajā kastē esošo lodīšu numuru vidējais aritmētiskais ir \(18\). Cik lodīšu var būt baltajā kastē?
Apzīmēsim lodīšu daudzumu kastēs attiecīgi ar \(b,s,m\). No nosacījuma par sarkano kasti seko, ka \(s \leq 5\) (pat sešu vismazāko numuru vidējais aritmētiskais ir \((1+2+3+4+5+6):6=3 \frac{1}{2}>3\), un, pievienojot lielākus numurus, tas augs). Skaidrs, ka pastāv vienādības
\[b+s+m=27\]
\[15b+3s+18m=1+2+\ldots+27=378\]
No šejienes \((15b+3s+18m)-3(b+s+m)=378-3 \cdot 27=297\), tāpēc \(12b+15m=297\) un \(\mathbf{4b}+\mathbf{5m}=\mathbf{99}\). Tiešas pārbaudes ceļā pārliecināsimies, ka \((b;m)\) var būt \((21;3),\ (16;7),\ (11;11),\ (6;15),\ (1;19)\); atbilstošās \(s\) vērtības ir attiecīgi \(3; 4; 5; 6; 7\), Tā kā \(s \leq 5\), divas pēdējās iespējas atkrīt. Pierādīsim, ka trīs pirmās tiešām pastāv: | baltajā kastē | \(5;\ 6;\ \ldots;\ 25\) | \(7;\ 8;\ \ldots; 14;\ 16;\ 17;\ \ldots;\ 23\) | \(10;\ 11;\ \ldots;\ 20\) | | :--- | :---: | :---: | :---: | | sarkanajā kastē | \(2;\ 3;\ 4\) | \(1;\ 2;\ 4;\ 5\) | \(1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5\) | | melnajā kastē | \(1;\ 26;\ 27\) | \(3;\ 6;\ 15;\ 24;\ 25;\ 26;\ 27\) | \(6;\ 7;\ 8;\ 9;\ 21;\ \ldots;\ 27\) |