Atrisinājums

Punkti \(O\) un \(H\) atrodas \(\triangle ABC\) iekšpusē, jo tas ir šaurleņķu. Ja \(N\) ir \(AB\) viduspunkts, tad \(ON \perp AB\). Saskaņā ar doto \(AE=\frac{1}{2} AB=AN\). No ievilkta un centra leņķa īpašībām \(\sphericalangle NOA=\sphericalangle BCA\), tāpēC \(\sphericalangle NAO=90^{\circ}-\sphericalangle BCA\); arī \(\sphericalangle EAH=90^{\circ}-\sphericalangle BCA\), tātad \(\sphericalangle NAO=\sphericalangle EAH\). Tāpēc \(\triangle AON=\triangle AHE\) \((\ell m \ell)\). Tātad \(AO=AH\) un \(\triangle OAH\) ir vienādsānu; tātad \(\sphericalangle AOH=\sphericalangle AHO\). No tā un no \(\sphericalangle NOA=\sphericalangle EHA\) seko \(\sphericalangle PON=\sphericalangle QHE\). Tāpēc \(\triangle OPN=\triangle HQE\ (\ell m \ell)\); tāpēc arī \(OP=HQ\), k.b.j.