Naturālo skaitļu kopa sadalīta daļās tā, ka katrs naturāls skaitlis nonācis tieši vienā daļā un katrā daļā ir bezgalīgi daudz skaitļu. Vai noteikti starp daļām atradīsies tāda, kas satur jebkura naturāla skaitļa daudzkārtņi?
Atbildēt uz šo jautājumu, ja
(A) daļu ir galīgs daudzums,
(B) daļu ir bezgalīgi daudz.
Atbilde: (A) jā, (B) nē.
Risinājums. Apskatām vispirms gadījumu ar galīgu daudzumu daļu. Pieņemsim, ka šīs daļas ir \(A_{1},\ A_{2},\ \ldots,\ A_{n}\) un daļa \(A_{i}\) nesatur nevienu skaitļa \(x_{i}\) daudzkārtni, \(i=1;\ 2;\ \ldots;\ n\). Skaitlis \(x=x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{n}\) pieder vienai no šīm daļām; pieņemsim, ka \(x \in A_{i}\). Tad no vienādības
\[x=x_{i} \cdot\left(x_{1}x_{2} \ldots x_{i-1}x_{i+1} \ldots x_{n}\right)\]
seko pretruna ar pieņēmumu. Tagad parādīsim, ka bezgalīga daļu daudzuma gadījumā uzdevumā minētā situācija ir iespējama. Kopā \(A_{1}\) ieskaitīsim vieninieku un visus pirmskaitļus. Katram \(i, i \geq 2\), kopā \(A_{i}\) ieskaitīsim tos skaitļus, kas dalās ar tieši \(i\) dažādiem pirmskaitļiem. Katram naturālam \(i\) daļa \(A_{i}\) nesatur nevienu daudzkārtni skaitlim \(p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{i} \cdot p_{i+1}\), kur \(p_{1}, p_{2}, \ldots\), \(p_{i}, p_{i+1}\) - dažādi pirmskaitļi (izmantojam aritmētikas pamatteorēmu).