LV.VOL.2007.12.4 lv
Divas riņķa līnijas \(w_{1}\) un \(w_{2}\) krustojas divos punktos \(A\) un \(B\). Taisne \(t_{1}\) iet caur \(B\) un krusto \(w_{1}\) vēl punktā \(C\), bet \(w_{2}\) - vēl punktā \(E\). Taisne \(t_{2}\) iet caur \(B\) un krusto \(w_{1}\) vēl punktā \(D\), bet \(w_{2}\) - vēl punktā \(F\). Punkts \(B\) atrodas gan starp \(C\) un \(E\), gan starp \(D\) un \(F\). Nogriežņu \(CE\) un \(DF\) viduspunktus apzīmējam attiecīgi ar \(M\) un \(N\).
Pierādīt, ka trijstūri \(ACD,\ AEF\) un \(AMN\) ir līdzīgi viens otram.
Atrisinājums
No ievilktu leņķu un krustleņķu īpašībām
\[\begin{equation*} \sphericalangle \mathbf{CAD}=\sphericalangle CBD=\sphericalangle EBF=\sphericalangle \mathbf{EAF} \tag{1} \end{equation*}\]
No ievilktu četrstūru un ievilktu leņķu īpašībām\[\begin{equation*} \sphericalangle \mathbf{ACD}=180^{\circ}-\sphericalangle ABD=\sphericalangle ABF=\sphericalangle \mathbf{AEF} \tag{2} \end{equation*}\]
No (1) un (2) seko, ka \(\triangle ACD \sim \triangle AEF\). No \(\sphericalangle ACB=\sphericalangle ADB\) un \(\sphericalangle AEB=\sphericalangle AFB\) seko, ka \(\triangle ACE \sim \triangle ADF\). Tāpēc \(AC:AM=AD:AN\) (malas un mediānas attiecības līdzīgos trijstūros, tātad\[\begin{equation*} AC:AD=AM:AN \tag{3} \end{equation*}\]
Bez tam \(\sphericalangle CAM=\sphericalangle DAN\) (leņķi starp atbilstošajām malām un mediānām līdzīgos trijstūros). Atņemot no šīs vienādības abām pusēm \(\sphericalangle DAM\), iegūstam\[\begin{equation*} \sphericalangle CAD=\sphericalangle MAN \tag{4} \end{equation*}\]
No (3) un (4) seko \(\triangle CAD \sim \triangle MAN\), k.b.j.