Uz papīra lapas uzrakstīti \(n\) dažādi naturāli skaitļi, kas nepārsniedz \(14\). Ir zināms: katru no naturāliem skaitļiem \(1;2;3;\ldots;27\) var izsacīt vai nu kā \(x\), vai kā \(2x\), vai kā \(x+y\), kur \(x\) un \(y\) - kaut kādi uzrakstītie skaitļi.
Pierādīt, ka
(A) \(n \geq 6\),
(B) \(n \geq 7\).
No \(n\) dažādiem skaitļiem var izveidot \(\frac{n(n-1)}{2}\) summas \(x+y\), kur \(x \neq y; n\) summas \(x+x=2x\); bez tam \(n\) veidos var ņemt vienu pašu skaitli \(x\). Tāpēc jābūt
\[\begin{equation*} \frac{n(n-1)}{2}+2n \geq 27 \tag{*} \end{equation*}\]
no kurienes seko \(n \geq 6\). Apzīmēsim uzrakstīto skaitļu kopu ar \(K\). Pie \(n=6\) nevienādībā (*) pastāv vienādība. Tātad katram skaitlim no \(1\) līdz \(27\) jābūt izsakāmam vienā vienīgā veidā. No tā pakāpeniski seko, ka \(1 \in K;\ 2 \notin K\); \(3 \in K;\ 4 \notin K;\ 5 \in\) K. Tagad redzam, ka \(6\) var izsacīt gan kā \(1+5\), gan kā \(2 \cdot 3\) - pretruna.