LV.VOL.2007.10.4 lv
Regulāra trijstūra \(ABC\) iekšpusē izvēlas patvaļīgu punktu \(O\). Uz trijstūra malām \(AB,\ BC,\ CA\) attiecīgi atrod tādus punktus \(X,\ Y,\ Z\), ka \(OX \parallel CA,\ OY \parallel AB,\ OZ \parallel BC\) (skat. 3.zīm.).
Pierādīt, ka nogriežņu \(OX,\ OY,\ OZ\) vidusperpendikulu veidotā trijstūra laukums nav atkarīgs no \(O\) izvēles.
Atrisinājums
Tā kā \(OX,\ OY,\ OZ\) pa pāriem veido \(120^{\circ}\) lielus leņķus, tad to vidusperpendikuli pa pāriem veido \(60^{\circ}\) lielus leņķus, tāpēc to veidotais trijstūris \(\Delta\) ir regulārs. Punkts \(O\) atrodas \(\Delta\) iekšpusē, un tā attālumu summa \(\Sigma\) līdz \(\Delta\) malām ir \(\frac{1}{2}(OX+OY+OZ)\). Mēs pierādīsim divus faktus:
A. \(\Sigma\) vienāda ar \(\Delta\) augstumu,
B. \(OX+OY+OZ=AC\).
No tā sekos, ka visiem \(\Delta\) ir vienādi augstumi, tātad tie ir vienādi savā starpā; tātad visiem \(\Delta\) ir vienādi laukumi.
Atliek pierādīt minētos faktus.
A. Apzīmējot \(\Delta\) laukumu ar \(L\), malas garumu ar \(a\), bet augstumu ar \(h\), iegūstam, ka \(L=\frac{1}{2} ah\) un \(L=\frac{1}{2} ax+\frac{1}{2} ay+\frac{1}{2} az\) (skat. 5.zīm.); no tā seko vajadzīgais.
B. Iesvītrotie trijstūri ir regulāri (skat. 6.zīm.). Tāpēc \(OX+OY+OZ=OX+OR+SZ=AS+ZC+SZ=AC\), k.b.j.