Ja \(n\) - naturāls skaitlis, kas lielāks par \(1\), tad ar \(x(n)\) apzīmējam lielāko pirmskaitli, kas nepārsniedz \(n\), bet ar \(y(n)\) - mazāko pirmskaitli, kas pārsniedz \(n\). Piemēram, \(x(6)=5\); \(x(5)=5;\ y(5)=7\). Pierādīt, ka
\[\frac{1}{x(2) \cdot y(2)}+\frac{1}{x(3) \cdot y(3)}+\frac{1}{x(4) \cdot y(4)}+\ldots+\frac{1}{x(600) \cdot y(600)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{601}\]
Ja \(a\) un \(b\) ir viens otram sekojoši pirmskaitļi un \(a \leq n<b\), tad \(x(n)=a\) un \(y(n)=b\). Tāpēc katram šādam \(n\) atbilstošais saskaitāmais summā ir \(\frac{1}{a \cdot b}\). Ja visiem šādiem \(n\) atbilstošie saskaitāmie summā ir, tad to daudzums ir tieši \(b-a\).
Atliek ievērot, ka \(601\) ir pirmskaitlis. Apzīmējot pirmskaitļus no \(2\) līdz \(601\) augošā kārtībā ar \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\), iegūstam, ka apskatāmā summa ir \(\frac{p_{2}-p_{1}}{p_{1} p_{2}}+\frac{p_{3}-p_{2}}{p_{2} p_{3}}+\ldots+\frac{p_{n}-p_{n-1}}{p_{n-1}p_{n}}=\frac{1}{p_{1}}-\frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{p_{2}}-\frac{1}{p_{3}}+\ldots+\frac{1}{p_{n-1}}-\frac{1}{p_{n}}=\frac{1}{p_{1}}-\frac{1}{p_{n}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{601}\), k.b.j.