Apzīmējam \(f(x)=x^{2}+px+q\). Zināms, ka vienādojumam \(f(x)=0\) ir divas saknes, no kurām viena atrodas starp \(0\) un \(1\), bet otra - nē. Pierādīt, ka \(f(q) \leq 0\).
Pieņemsim, ka vienādojuma \(f(x)=0\) saknes ir \(x_{1}\) un \(x_{2}\). Saskaņā ar Vjeta teorēmu
\[\begin{aligned} & f(q)=q^{2}+pq+q=x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)+x_{1}x_{2}=x_{1}x_{2}\left(x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}+1\right)= \\ & =\left[x_{1}\left(1-x_{1}\right)\right] \cdot\left[x_{2}\left(1-x_{2}\right)\right] . \end{aligned}\]
Saskaņā ar uzdevumā doto tieši viena no kvadrātiekavām ir negatīva, tāpēc to reizinājums ir \(\leq 0\).