LV.VOL.2006.12.3 lv
Trijstūrī \(ABC\) visas malas ir dažāda garuma un tajā ievilktās riņķa līnijas centrs ir \(I\). Ievilktā riņķa līnija pieskaras malām \(AB,\ BC,\ CA\) attiecīgi punktos \(D,\ E,\ F\).
(A) Pierādīt, ka \(\triangle CDI\) un \(\Delta DSI\) ir līdzīgi, ja \(S\) ir \(CI\) un \(EF\) krustpunkts,
(B) pieņemsim, ka \(K\) ir nogriežņa \(CD\) un ievilktās riņķa līnijas kopējais punkts, kas atšķiras no \(D\). Taisne, kas punktā \(K\) pieskaras ievilktajai riņķa līnijai, krusto taisni \(AB\) punktā \(G\). Pierādīt, ka \(GS \perp CI\).
Atrisinājums
(A) Tā kā \(CF=CE\), tad \(\triangle ECF\) ir vienādsānu un tā bisektrise \(CS\) ir arī augstums. Tāpēc \(ES\) ir augstums pret hipotenūzu taisnleņķa trijstūrī \(CEI\). Tāpēc \(EI^{2}=IS \cdot IC\). Tā kā \(EI=DI\), tad \(DI^{2}=IS \cdot IC\), no kurienes \(DI:IC=IS:ID\). Tāpēc \(\Delta SID \sim \Delta DIC\) (kopējs leņķis \(I\) un proporcionālas to ietverošās malas).
(B) Tā kā \(\sphericalangle GKI=\sphericalangle GDI=90^{\circ}\), tad ap četrstūri \(GKID\) var apvilkt riņķa līniju \(\boldsymbol{\omega}\). No (A) punkta seko, ka \(\sphericalangle ISD=\sphericalangle IDC=\sphericalangle IDK=\sphericalangle IKD\). Tāpēc \(S\) arī atrodas uz \(\boldsymbol{\omega}\). Tāpēc \(\sphericalangle GSI=\sphericalangle GKI=90^{\circ}\).
