Funkcija \(f(x)\) definēta pie \(0 \leq x \leq 1\). Zināms, ka \(f(0)=f(1)=0\) un visiem \(x\) un \(y\) no intervāla \([0;\ 1]\) pastāv nevienādība
\[f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq f(x)+f(y)\]
**(A)** Pierādīt: vienādojumam \(f(x)=0\) ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, **(B)** vai eksistē tāda funkcija, kas apmierina uzdevuma nosacījumus un starp kuras vērtībām ir tādas, kas atšķiras no \(0\)?(A) Ievietojot \(x=y=a\), iegūstam \(f(a) \leq 2f(a)\), tāpēc \(f(a) \geq 0\). Ņemot \(x=0;\ y=1\), iegūstam \(0 \leq f\left(\frac{1}{2}\right) \leq f(0)+f(1)=0\), tāpēc \(f\left(\frac{1}{2}\right)=0\).
Pieņemsim, ka ir jau pierādīts, ka kādam naturālam \(k\) pastāv vienādība \(f\left(\frac{1}{2^{k}}\right)=0\). Tad, ņemot \(x=0\) un \(y=\frac{1}{2^{k}}\), iegūstam \(0 \leq f\left(\frac{1}{2^{k+1}}\right) \leq f(0)+f\left(\frac{1}{2^{k}}\right)=0\), tāpēc \(f\left(\frac{1}{2^{k+1}}\right)=0\). Tātad katram naturālam \(n\) pastāv vienādība \(f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0\).
(B) funkcija
\[f(x)=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { ja } x - \text {racionāls skaitlis} \\ 1, \text { ja } x - \text {iracionāls skaitlis} \end{array}\right.\]
apmierina visas uzdevuma prasības.