Atrisinājums

A. Pieņemsim, ka \(AB\) ir \(\omega\) diametrs. Tad \(AN\) un \(BM\) ir \(\triangle ABC\) augstumi; apzīmēsim \(\triangle ABC\) augstumu krustpunktu ar \(H\). Pieņemsim, ka pieskare, kas \(\omega\) novilkta punktā \(M\), krusto augstumu \(CH\) punktā \(X\). Tad \(\sphericalangle MCX=90^{\circ}-\sphericalangle A=\sphericalangle ABM=\sphericalangle SMA\) (ievilkts un hordas - pieskares leņķis) \(=\sphericalangle CMX\), tātad \(\triangle MXC\) ir vienādsānu. Tātad \(X\) atrodas uz \(MC\) vidusperpendikula, tātad (pēc Talesa teorēmas) \(CH\) viduspunktā. Līdzīgi arī \(\omega\) pieskare, kas novilkta punktā \(N\), krusto \(CH\) tā viduspunktā, tātad punktā \(X\), un \(CX=NX\). No \(MX=CX=NX\) seko, ka \(X\) ir \(\Delta CMN\) apvilktās riņķa līnijas centrs.

B. Pieņemsim, ka \(O\) ir \(\triangle CMN\) apvilktās riņķa līnijas centrs. Tad (skat. 5.zīm.) \(OC=OM=ON\), tāpēc \(\sphericalangle CMO=\sphericalangle MCO=\sphericalangle ABM\) un \(\sphericalangle CNO=\sphericalangle NCO=\sphericalangle NAB\). Tāpēc \(\sphericalangle ACB=\sphericalangle ABM+\sphericalangle BAN\) un \(2 \sphericalangle ANB=\sphericalangle ANB+\sphericalangle AMB=180^{\circ}-\sphericalangle B-\) \(+180^{\circ}-\sphericalangle A-\) \(=360^{\circ}-(\sphericalangle A+\sphericalangle B+\sphericalangle C)=180^{\circ}\), tāpēc \(\sphericalangle ANB=90^{\circ}\) un \(AB\) ir \(\omega\) diametrs.