Kādam mazākajam naturālajam skaitlim \(n\) piemīt šāda īpašība: vienalga kādā veidā nokrāsojot dažus no naturālajiem skaitļiem \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots;\ n\) baltus, bet pārējos - sarkanus, vienādojumam \(x+y+z=t\) eksistē atrisinājums, kurā visu četru mainīgo vērtības ir vienā un tai pašā krāsā (starp šīm vērtībām var būt arī savā starpā vienādas)?
Atbilde: \(n=11\).
Vispirms parādīsim, ka pie \(n=10\) skaitļus var nokrāsot tā, lai minētā tipa atrisinājums neeksistētu. Piemēram, nokrāsojam \(1;\ 2;\ 9;\ 10\) baltus, bet \(3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8\) - sarkanus. Katru trīs sarkano saskaitāmo summa ir vismaz \(3 \cdot 3=9\), tātad nav sarkana. Savukārt katru trīs baltu saskaitāmo summa ir vismaz \(11\) (ja kāds no tiem ir \(9\) vai \(10\)), vai no \(3\) līdz \(6\) (ja neviens no tiem nav ne \(9\), ne \(10\)), tātad nav balta.
Tagad parādīsim, ka pie \(n=11\) minētā tipa atrisinājums noteikti eksistē. To, ka skaitlis \(x\) ir balts resp. sarkans, pierakstīsim kā \(x \sim b\) resp. \(x \sim s\). Pieņemsim pretējo tam, kas jāpierāda. Šķirojam divus gadīumus.
Skaitļi \(1\) un \(2\) ir vienā un tai pašā krāsā; varam pieņemt, ka \(1 \sim s\)
un \(2 \sim s\). Tā kā \(1+1+1=3\) un \(1+1+2=4\), tad \(3 \sim b\) un \(4 \sim b\).
Tad \(3+3+3=9\), tāpēc \(9 \sim s\); tā kā \(3+4+4=11\), tad \(11 \sim s\). Bet
\(1+1+9=11\) pretruna.
Skaitļi \(1\) un \(2\) ir dažādās krāsās; varam pieņemt, ka \(1 \sim s\) un \(2 \sim b\). Tā kā \(1+1+1=3\), tad \(3 \sim b\). Tā kā \(2+2+2=6\), tad \(6 \sim s\); tā kā \(2+3+3=8\), tad \(8 \sim s\). Bet \(1+1+6=8\) - pretruna.