Atrisinājums

Acīmredzami, visi virknes locekļi ir pozitīvi. Tāpēc \(x_{2n}>1\), bet \(x_{2n+1}<1(n \in N,\ n \geq 1)\). No šejienes seko, ka vienādi varētu būt tikai divi locekļi ar vienādas paritātes indeksiem, kas pie tam lielāki par \(1\). Viegli saprast, ka no \(x_{k}=x_{m}\) seko \(x_{k-1}=x_{m-1}\) pie nepāra indeksiem \(k\) un \(m\) vai \(x_{\frac{k}{2}}=x_{\frac{m}{2}}\) pie pāra indeksiem \(k\) un \(m\) utt., kas galu galā noved pie pretrunas (kad viens no locekļiem šajā vienādībā kļūst \(x_{1}\)).

Tagad pierādīsim, ka katrs pozitīvs racionāls skaitlis sastopams šajā virknē.

Pierādīsim to ar matemātisko indukciju pēc \(k\), \(k \geq 2\), tādiem pozitīviem nesaīsināmiem racionāliem skaitļiem \(r\), ka \(r=\frac{a}{b}\), un \(a+b=k\). Pie \(k=2\) ir tikai viens tāds skaitlis \(r=\frac{1}{1}=1\), un \(x_{1}=1\). Pieņemsim, ka apgalvojums pareizs pie \(k=2;\ 3;\ \ldots;\ t\), un apskatīsim \(r=\frac{a}{b},\ LKD(a,\ b)=1,\ a+b=t+1\). Skaidrs, ka \(r \neq 1\). Šķirojam divus gadījumus:

• \(r>1\). Apskatām skaitli \(r_{1}=\frac{a-b}{b}\). Tā kā \(LKD(a-b,\ b)=LKD(a,\ b)=1\) un \(a-b+b=a \leq t\), tad eksistē tāds \(n\), ka \(x_{n}=\frac{a-b}{b}\). Bet tad \(x_{2n}=1+x_{n}=\frac{a}{b}\), k.b.j.
• \(0<r<1\). Apskatām skaitli \(r_{2}=\frac{b-a}{a}\). Tā kā \(LKD(b-a,\ a)=LKD(b,\ a)=1\) un \(b-a+a=b \leq t\), tad eksistē tāds \(n\), ka \(x_{n}=\frac{b-a}{a}\). Tad \(x_{2n}=1+x_{n}=\frac{b}{a}\) un \(x_{2n+1}=\frac{1}{x_{2n}}=\frac{a}{b}\), k.b.j.