LV.VOL.2005.12.2 lv
No punkta regulāra trijstūra \(ABC\) iekšpusē vilkti perpendikuli pret tā malām. Šis punkts savienots arī ar trijstūra virsotnēm. Iegūtajos \(6\) taisnleņķa trijstūros ievilktas riņķa līnijas. Apzīmēsim \(i\)-tajā trijstūrī ievilktās riņķa līnijas rādiusu ar \(r_{i}\) (skat. 4.zīm.).
Pierādīt, ka \(r_{1}+r_{3}+r_{5}=r_{2}+r_{4}+r_{6}\).
Atrisinājums
No labi zināmas taisnleņķa trijstūrī ievilktās riņķa līnijas rādiusa garuma formulas \(r=\frac{a+b-c}{2}\) (skat. 1.zīm.) iegūstam, ka pierādāmā vienādība ekvivalenta ar
\(AC_{1}+BA_{1}+CB_{1}=C_{1}B+A_{1}C+B_{1}A\) (2.zīm.).
Savukārt šīs vienādības pareizība kļūst acīmredzama, ja caur \(P\) novelk taisnes paralēli \(ABC\) malām.
