LV.VOL.2005.11.2 lv
Dots, ka \(ABC\) ir vienādsānu taisnleņķa trijstūris, \(AB=AC\). Uz \(AB\) ņemti tādi iekšēji punkti \(P\) un \(M\), ka \(AM=BP\). Ar \(D\) apzīmējam \(BC\) viduspunktu. Punkts \(R\) atrodas uz \(CM\) un punkts \(Q\) atrodas uz \(BC\). Ir zināms, ka \(A,\ R,\ Q\) ir uz vienas taisnes un \(AQ \perp CM\) (skat. 3.zīm.).
Pierādīt, ka (A) \(\sphericalangle AQC=\sphericalangle PQB\); (B) \(\sphericalangle DRQ=45^{\circ}\).
Atrisinājums
Papildinām \(\triangle ABC\) līdz kvadrātam \(ABEC\). Apzīmējam \(AQ\) krustpunktu ar \(BE\) ar \(N\).
(A) Tā kā \(\sphericalangle ACM=\sphericalangle BAN\), tad \(\triangle ACM=\triangle BAN \quad (h \ell)\). Tāpēc \(BN=AM=BP\). Tāpēc \(\triangle PBQ=\triangle NBQ \quad (m \ell m)\). Tāpēc \(\sphericalangle PQB=\sphericalangle NQB=\sphericalangle AQC\).
(B) Tā kā \(\triangle ADQ \sim \triangle CRQ\), tad \(\frac{DQ}{RQ}=\frac{AQ}{CQ}\). No šejienes seko, ka \(\triangle DRQ \sim \triangle ACQ\). Tāpēc \(\sphericalangle DRQ=\sphericalangle ACQ=45^{\circ}\).
