Kādā universitātē strādā \(n\) profesori, \(n \geq 2\). Katrs profesors lasa lekcijas. Daži no viņiem klausās citu profesoru lekcijas. Ir zināms, ka
(A) Pierādiet: var gadīties, ka \(n=7\).
(B) Kādas vēl var būt \(n\) vērtības?
Apzīmējam profesorus ar \(P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{7}\). Klausītāju kopas var būt šādas:
\[\begin{array}{lll} P_{1}:\ P_{2},\ P_{3},\ P_{4} & P_{4}:\ P_{2},\ P_{6},\ P_{7} & P_{6}:\ P_{1},\ P_{3},\ P_{7} \\ P_{2}:\ P_{3},\ P_{5},\ P_{6} & P_{5}:\ P_{1},\ P_{4},\ P_{6} & P_{7}:\ P_{1},\ P_{2},\ P_{5} \\ P_{3}:\ P_{4},\ P_{5},\ P_{7} & & \end{array}\]
Ja \(n\) profesoriem prasītās kopas ir konstruētas, tad, pievienojot vēl vienu profesoru, kuru klausās visi iepriekšējie \(n\), iegūstam "klausīšanās sistēmu" \(n+1\) profesoriem. Tātad var būt \(n=8;\ 9;\ 10;\ \ldots\). Pierādīsim, ka noteikti jābūt \(n \geq 7\). Vispirms pamatosim, ka katru klausās vismaz \(3\) citi profesori. Tiešām, ja profesoru \(A\) klausītos tikai \(B\), tad neviens profesors neklausītos \(A\) un \(B\); ja profesoru \(A\) klausītos tikai \(B\) un \(C\), tad \(A\) un \(B\) varētu klausīties tikai \(C\), bet \(A\) un \(C\) - tikai \(B\), tātad \(B\) un \(C\) klausītos viens otru - pretruna. Tātad ir vismaz \(n \cdot 3\) pāri \((A,\ B)\) ar īpašību " \(A\) klausās \(B\) lekcijas". No otras puses, šādu pāru nav vairāk par \(\frac{n(n-1)}{2}\), jo nav divu profesoru, kas klausītos viens otru. Tāpēc \(3 n \leq \frac{1}{2} n(n-1)\), no kurienes \(n-1 \geq 6\) un \(n \geq 7\).