Kādām funkcijām \(f\) vienlaicīgi piemīt sekojošas īpašības:
a. \(f\) definīcijas apgabals ir \(\{1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9;\ 10\}\), b. \(f\) vērtības ir naturāli skaitļi, kas nepārsniedz \(100\), c. \(f\) ir augoša funkcija, d. visiem \(x\) un \(y\) no definīcijas apgabala skaitlis \(x \cdot f(x)+y \cdot f(y)\) dalās ar \(x+y\)?
Tā kā \(xf(x)+yf(y)\) un \(xf(y)+yf(y)\) dalās ar \(x+y\), tad arī starpība \(x(f(y)-f(x))\) dalās ar \(x+y\). Pie \(y=x+1\) iegūstam, ka \(x(f(x+1)-f(x))\) dalās ar \(2x+1(x=1;\ 2;\ \ldots;\ 9)\). Tā kā \(LKD(x,\ 2x+1)=1\), tad \(f(x+1)-f(x)\) dalās ar \(2x+1\). Tā kā \(f(t)\) ir augoša funkcija, tad \(f(x+1)-f(x) \geq 2 x+1\). Summējot šīs nevienādības pie \(x=1;\ 2;\ \ldots;\ 9\), iegūstam
\[f(10)-f(1) \geq 3+5+\ldots+19=99\]
Tā kā \(f(10) \leq 100\) un \(f(1) \geq 1\), tad \(f(1)=1\) un \(f(10)=100\). Bez tam \(f(x+1)-f(x)=2x+1(x=1;\ \ldots;\ 9)\), no kurienes seko, ka \(\mathbf{f(x)=x^{2}}\). Pārbaude parāda, ka šī funkcija der.