LV.VOL.2004.9.5 lv
Pa apli uzrakstīti \(5\) skaitļi. To summa ir \(1\), un neviens skaitlis pēc moduļa (absolūtās vērtības) nepārsniedz \(1\).
Pierādīt, ka var atrast trīs tādus skaitļus \(x,\ y\) un \(z\), ka \(x+y \geq 0\), \(y+z \geq 0\) un \(x+y+z \geq 0\), pie tam skaitļi \(x;\ y;\ z\) tieši šādā secībā viens aiz otra uzrakstīti pa apli.
Atrisinājums
Vispirms pierādīsim, ka no summām \(a+b,\ b+c,\ c+d,\ d+e,\ e+a\) ne vairāk kā divas ir negatīvas (skat. 3.zīm.).
Ja tā nebūtu, tad atrastos divi blakus esoši skaitļu pāri, kuru summas ir negatīvas, piemēram, \(a+b<0\) un \(c+d<0\). Tad \(e=1-(a+b)-(c+d)>1\) - pretruna. No minētā izriet: ja virknē
\[(*)\ a+b,\ b+c,\ c+d,\ d+e,\ e+a\]
ir divas negatīvas summas, tad tās šajā virknē atrodas blakus (uzskatām, ka \(a+b\) un \(e+a\) arī ir blakus). Tāpēc (*) noteikti ir \(3\) pēc kārtas ņemtas nenegatīvas summas. Varam pieņemt, ka \(a+b \geq 0,\ b+c \geq 0\), \(c+d \geq 0\). Ja \(d+e<0\), tad \(a+b+c=1-(d+e)>0\), un varam ņemt \(x=a,\ y=b,\ z=c\). Līdzīgi analizē gadījumu, ja \(e+a<0\). Ja turpretī visas summas no (*) ir nenegatīvas, tad arī \((a+b)+\ldots+(e+a) \geq 0\) jeb \(2(a+b+c+d+e) \geq 0\), tātad \(a+b+c+d+e \geq 0\). Tad nevar būt, ka visas summas \(a+b+c,\ b+c+d,\ \ldots,\ e+a+b\) ir negatīvas, jo to summa ir \(3(a+b+c+d+e)\). Ja, piemēram, \(a+b+c \geq 0\), varam ņemt \(x=a,\ y=b,\ z=c\).