LV.VOL.2004.12.1 lv
Uz vienības riņķa līnijas loka pimajā kvadrantā ņemti divi punkti \(A\) un \(B\); to projekcijas uz koordinātu asīm ir \(A_{1},\ B_{1},\ A_{2}\) un \(B_{2}\) (skat. 1.zīm).
Pierādīt, ka trapeču \(B_{2}A_{2}AB\) un \(A_{1}ABB_{1}\) laukumu summa atkarīga tikai no hordas \(AB\) garuma, bet ne no tās novietojuma.
Atrisinājums
Apzīmēsim leņķus, ko \(OA\) un \(OB\) veido ar \(Ox\) ass pozitīvo virzienu, attiecīgi ar \(\alpha\) un \(\beta\). Apskatāmo trapeču laukumu summa ir
\(\frac{\cos \alpha+\cos \beta}{2} \cdot(\sin \alpha-\sin \beta)+\frac{\sin \alpha+\sin \beta}{2} \cdot(\cos \beta-\cos \alpha)=\cos \beta \sin \alpha-\cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha-\beta)\)
Leņķis \(\alpha - \beta\) ir centra leņķis lokam, ko savelk horda \(AB\). Hordas garumam nemainoties, nemainās arī loka leņķiskais lielums. No šejienes seko uzdevuma apgalvojums.