Kādām reālām parametra \(a\) vērtībām vienādojumu sistēmai
\[\left\{\begin{array}{l} x^{2}+1+z=(a+1)x+ay \\ y^{2}+1+x=(a+1)y+az \\ z^{2}+1+y=(a+1)z+ax \end{array}\right.\]
ir tieši viens atrisinājums reālos skaitļos \((x,\ y,\ z)\)?Ja mainīgos \(x,\ y,\ z\) cikliski maina vietām, sistēma nemainās. Tātad: ja \((p,\ q,\ r)\) ir tās atrisinājums, tad arī \((r,\ p,\ q)\) un \((q,\ r,\ p)\) ir atrisinājumi. Tātad, lai sistēmai būtu tikai viens atrisinājums, jābūt \(p=q=r\), t.i., mēs varam risināt vienādojumu \(x^{2}-2ax+1=0\). Tam ir viens atrisinājums, ja \(a= \pm 1\).
Tagad jāpārbauda, vai šīs vērtības tiešām der. Apskatām \(a=1\). Saskaitot visus vienādojumus, iegūstam
\[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=0\]
no kurienes \(x=y=z=1\); pārbaude parāda, ka tas tiešām ir atrisinājums. Tātad \(a=1\) der. Līdzīgi pierāda, ka der \(a=1\).