LV.VOL.2004.10.4 lv
Kvadrāts sastāv no \(8 \times 8\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Kādam mazākajam naturālajam \(n\) piemīt īpašība: lai kuras \(n\) rūtiņas nokrāsotu, noteikti atradīsies tādas \(3\) nokrāsotas rūtiņas, kuru centri ir taisnleņķa trijstūra virsotnes, pie tam šī trijstūra katetes paralēlas kvadrāta malām?
Atrisinājums
Kā redzams 5.zīm., \(n=14\) vēl neder.
Pierādīsim, ka \(n=15\) der. Pieņemsim, ka triju nokrāsoto rūtiņu ar uzdevumā minēto īpašību nav. Sauksim rindu/kolonnu par bagātu, ja tajā ir vismaz \(2\) nokrāsotas rūtiņas, un par nabagu pretējā gadījumā.
Ja vai nu nav bagātu kolonnu, vai arī nav bagātu rindu, tad nokrāsoto rūtiņu nav vairāk par \(8\). Pieņemsim, ka ir gan bagāta kolonna, gan bagāta rinda; tad ne nabago kolonnu, ne nabago rindu nav vairāk par \(7\). Skaidrs, ka katra nokrāsotā rūtiņa ir vai nu nabagā rindā, vai nabagā kolonnā, tātad to nav vairāk par \(7+7=14\).