Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) ir patiesa vienādība
\[1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\]
Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi.
Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad \(1^{2}=\frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3}\) jeb \(1=1\).
Induktīvais pieņēmums. Pieṇemsim, ka vienādība izpildās, ja \(n=k\), tas ir,
\[1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 k-1)^{2}=\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}\]
Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ka vienādība ir spēkā arī tad, ja \(n=k+1\), tas ir,\[1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 k+1)^{2}=\frac{(k+1)(2 k+1)(2 k+3)}{3}\]
Pārveidojam vienādības kreisās puses izteiksmi: \(\underbrace{1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 k-1)^{2}}_{\text{induktīvais pieņēmums}}+(2 k+1)^{2}=\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}+(2 k+1)^{2}=\) \(=\frac{(2 k+1)}{3}(k(2 k-1)+3(2 k+1))=\frac{(2 k+1)}{3}\left(2 k^{2}+5 k+3\right)=\frac{(2 k+1)(k+1)(2 k+3)}{3}\). *Secinājums.* Tā kā vienādība ir patiesa, ja \(n=1\), un no tā, ka vienādība ir spēkā, ja \(n=k\), izriet, ka vienādība ir spēkā arī \(n=k+1\), secinām, ka vienādība ir spēkā visām naturālām \(n\) vērtībām.