Atrisinājums

Izmantojot bisektrises īpašību trijstūrī \(A B E\) (skat. 8. att.), iegūstam, ka \(\frac{A B}{A E}=\frac{B D}{D E}=\frac{3}{4}\). Apzīmējam \(A B=3 x\) un \(A E=4 x\). Pēc Pitagora teorēmas \(\triangle A B E\) iegūstam:

\[AE^{2}=A B^{2}+B E^{2} \quad \Rightarrow \quad 16 x^{2}=9 x^{2}+49 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt{7} \quad \Rightarrow \quad A B=3 \sqrt{7} ; A E=4 \sqrt{7}.\]

 Izmantojot bisektrises īpašību \(\triangle A B E\), iegūstam, ka \(\frac{A C}{E C}=\frac{A B}{B E}=\frac{3 \sqrt{7}}{7}\). Apzīmējot \(A C=3 \sqrt{7} a\) un \(E C=7 a\) un lietojot Pitagora teorēmu \(\triangle A B C\), iegūstam:

\[\begin{aligned} & A B^{2}+B C^{2}=A C^{2} \Rightarrow(3 \sqrt{7})^{2}+(7+7 a)^{2}=(3 \sqrt{7} a)^{2} \Rightarrow \Rightarrow 9 \cdot 7+7^{2}+2 \cdot 7^{2} a+7^{2} a^{2}=9 \cdot 7 a^{2} \\ & 9+7+14 a+7 a^{2}=9 a^{2} \Rightarrow a^{2}-7 a-8=0 \Rightarrow a=8 \text { vai } a=-1 \text { (neder). } \end{aligned} \]

Lídz ar to esam ieguvuši, ka \(EC=7a=56\).

Atrisinājums

Apzīmējam \(E C=x, \sphericalangle B A D=\sphericalangle D A E=\alpha, \sphericalangle E A C=2 \alpha\) un atliekam punktiem \(D\) un \(E\) attiecīgi simetriskus punktus \(D_{1}\) un \(E_{1}\) pret taisni \(A B\) (skat. 9. att.). Tātad \(B D_{1}=B D=3\) un \(D E=D_{1} E_{1}=4\). Izmantosim bisektrises īpašību un nogriežṇu garumu vienādību \(A E_{1}=A E\) (simetrijas dēļ):
(1) \(\triangle B A C\) bisektrise \(A E: \quad \frac{A B}{A C}=\frac{B E}{E C}=\frac{7}{x}\); (2) \(\triangle B A E\) bisektrise \(A D: \quad \frac{A B}{A E}=\frac{B D}{D E}=\frac{3}{4}\); (3) \(\triangle E_{1} A C\) bisektrise \(A D: \frac{A E_{1}}{A C}=\frac{E_{1} D}{D C} \Rightarrow \frac{A E}{A C}=\frac{10}{4+x}\).

No (2) un (3) iegūstam, ka

\[\frac{A B}{A C}=\frac{A B}{A E} \cdot \frac{A E}{A C}=\frac{3}{4} \cdot \frac{10}{4+x}=\frac{30}{4(4+x)} .\]

Izmantojot **(1)**, iegūstam:

\[\frac{30}{4(4+x)}=\frac{7}{x} \quad \Rightarrow \quad 30 x=112+28 x \quad \Rightarrow \quad x=56\]

Tātad \(EC=x=56\).