Dotas \(2023\) kastes, sākumā tajās ir attiecīgi \(1, 2, 3, \ldots, 2023\) konfektes. Vienā gājienā var izvēlēties naturālu skaitli \(n\) un no dažām kastēm (varbūt tikai no vienas) apēst \(n\) konfektes. Kāds ir mazākais gājienu skaits, ar kuru var panākt, ka visas kastes ir tukšas?
Atbilde. Mazākais gājienu skaits ir \(11\).
Parādīsim, ka ar \(11\) gājieniem pietiek. Pirmajā gājienā apēdam pa \(1\) konfektei no kastēm, kurās ir nepāra skaits konfekšu. Rezultātā visās kastēs konfekšu skaits dalās ar \(2\). Otrajā gājienā apēdam pa \(2\) konfektēm no tām kastēm, kurās konfekšu skaits nedalās ar \(4\). Rezultātā visās kastēs konfekšu skaits dalās ar \(4\). Trešajā gājienā apēdam pa \(4\) konfektēm no tām kastēm, kurās konfekšu skaits nedalās ar \(8\). Rezultātā visās kastēs konfekšu skaits dalās ar \(8\). Līdzīgi turpinot, pēc \(11\) gājieniem konfekšu skaits visās kastēs dalās ar \(2^{11}=2048\). Tā kā nevienā kastē konfekšu skaits nepārsniedz \(2048\), tad šajā brīdī tas ir \(0\).
Pamatosim, ka ar \(10\) gājieniem nepietiek. Sākumā visās kastēs ir dažāds skaits konfekšu. Līdz ar to pēc pirmā gājiena vienāds konfekšu skaits var būt lielākais \(2\) kastēs, pēc otrā gājiena - lielākais \(2+2=4\) kastēs, pēc trešā gājiena lielākais \(4+4=8\) kastēs, \(\ldots\), pēc 10. gājiena - lielākais \(2^{10}=1024\) kastēs. Tāpēc pēc 10.gājiena visas \(2023\) kastes nevar būt tukšas.