Atrisinājums

Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi.

Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad \(\frac{1^{2}}{1 \cdot 3}=\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}\) jeb \(\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\).

Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka vienādība izpildās, ja \(n=k\), tas ir,

\[\frac{1^{2}}{1 \cdot 3}+\frac{2^{2}}{3 \cdot 5}+\cdots+\frac{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k(k+1)}{2(2k+1)}\]

*Induktīvā pāreja.* Pierādīsim, ka vienādība ir spēkā arī tad, ja \(n=k+1\), tas ir,

\[\begin{gathered} \frac{1^{2}}{1 \cdot 3}+\frac{2^{2}}{3 \cdot 5}+\cdots+\frac{(k+1)^{2}}{(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}=\frac{(k+1)(k+1+1)}{2(2(k+1)+1)} \\ \frac{1^{2}}{1 \cdot 3}+\frac{2^{2}}{3 \cdot 5}+\cdots+\frac{(k+1)^{2}}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{(k+1)(k+2)}{2(2k+3)} \end{gathered}\]

Pārveidojam vienādības kreisās puses izteiksmi: \(\underbrace{\frac{1^{2}}{1 \cdot 3}+\frac{2^{2}}{3 \cdot 5}+\cdots+\frac{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)}}_{induktīvais\ pieņēmums}+\frac{(k+1)^{2}}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k(k+1)}{2(2k+1)}+\frac{(k+1)^{2}}{(2k+1)(2k+3)}= \\) \(=\frac{k+1}{2k+1}\left(\frac{k}{2}+\frac{k+1}{2k+3}\right)=\frac{k+1}{2k+1}\left(\frac{2k^{2}+3k+2k+2}{2(2k+3)}\right)=\frac{(k+1)\left(2 k^{2}+5k+2\right)}{(2k+1) 2(2k+3)}= \) \(=\frac{(k+1)(2k+1)(k+2)}{(2k+1)2(2k+3)}=\frac{(k+1)(k+2)}{2(2k+3)}\) *Secinājums.* Tā kā vienādība ir patiesa, ja \(n=1\), un no tā, ka vienādība ir spēkā, ja \(n=k\), izriet, ka vienādība ir spēkā arī \(n=k+1\), secinām, ka vienādība ir spēkā visām naturālām \(n\) vērtībām.