Klasē ir \(10\) skolēni. Viņiem jāregistrējas \(1023\) eksāmenu kārtošanai, turklāt nedrīkst būt divu tādu eksāmenu, kurus kārto vieni un tie paši skolnieki. Katru eksāmenu jākārto vismaz vienam skolniekam. Dots, ka \(n\) - vesels skaitlis, \(0 \leq n \leq 1023\). Pierādīt, ka eksāmenam reģistrējušos skolnieku sarakstus var nodrukāt uz baltām un zaļām lapām tā, ka vienlaicīgi izpildās šādas prasības:
Skaidrs, ka uz lapām jāraksta skolēnu kopas visas netukšās apakškopas, jo to ir tieši \(2^{10}-1=1023\). Identificēsim skolēnus ar skaitļiem \(0;\ 1;\ 2;\ \ldots;\ 9\). N̦emsim skolēnu netukšu kopu \(A \subset\{0; 1; 2; \ldots; 9\}\). Parādīsim, kā izvēlēties krāsu lapai, uz kuras uzrakstīs \(A\).
Izsakām \(n=2^{a_{1}}+2^{a_{2}}+\ldots+2^{a_{k}}\), kur \(0 \leq a_{1}<a_{2}<\ldots<a_{k} \leq 9\) - dažādi nenegatīvi veseli skaitļi (t.i., izsakām \(n\) binārajā sistēmā). Uzskatīsim skaitļus \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\) par baltiem, bet pārējos skaitļus no \(\{0; 1; 2; \ldots; 9\}\) - par zaļiem. Krāsosim kopas \(\mathbf{A}\) lapu tādā krāsā, kādā ir kopas \(\mathbf{A}\) lielākais elements.
Tā kā divu kopu apvienojuma lielākais elements ir lielākais no šo kopu lielākajiem elementiem, uzdevuma nosacījums par lapu krāsām izpildās. Noskaidrosim, cik ir balto lapu. Ir tieši \(2^{a_{i}}\) kopas, kuru lielākais elements ir \(a_{i}\) (katru no skaitļiem \(0; 1; \ldots; a_{i}-1\) var iekļaut vai neiekļaut). Tāpēc balto lapu ir \(2^{a_{1}}+\ldots+2^{a_{k}}=n\), kas bija vajadzīgs.
Piezīme: iespējams arī risinājums ar matemātisko indukciju.