Pirmie sešpadsmit naturālie skaitļi patvaļīgā secībā izvietoti pa apli, katriem diviem blakus skaitļiem aprēķināta to starpība (no lielākā skaitļa atņemot mazāko), un pēc tam aprēķināta visu šo \(16\) starpību summa \(S\). Vai var gadīties, ka: (A) \(S = 100\); (B) \(S = 123\)?
(A) Jā, var, piemēram, skat. 18. att., kur ar pelēkā krāsā ir blakus skaitļu starpība. Tādā gadījumā
\[S = 3 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 3 + 4 + 7 + 6 + 5 + 4 + 1 + 2 + 1 + 4 = 100.\]
 **(B)** Pamatosim, ka \(S = 123\) nevar iegūt. Šo panāksim pierādot, ka \(S\) vienmēr ir jābūt pāra skaitlim. Ja \(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{16}\) ir patvaļīgi sakārtoti pirmie 16 naturālie skaitļi, tad summu \(S\) varam izteikt kā\[S = |x_1 − x_2| + |x_2 − x_3| + |x_3 − x_4| + \cdots + |x_{15} − x_{16}| + |x_{16} − x_1|.\]
Ievērosim, ka \(S\) būtu 0, ja, rēķinot starpību, nebūtu vienmēr no lielākā skaitļa jāatņem mazākais, tas ir, starpības varētu pieļaut negatīvas vērtības, jo viss pa pāriem noīsinātos:\[x_1 − x_2 + x_2 − x_3 + x_3 − x_4 + \cdots + x_{15} − x_{16} + x_{16} − x_1 = 0.\]
Tikko sākam parūpēties par to, lai kāda no negatīvajām starpībām summā būtu pozitīva (no lielāka tiek atņemts mazākais), tad rezultātā iegūstam, ka 𝑆 pieaug par pāra skaitli. Ja summā ir kāda negatīva starpība \(x_i − x_j\), kur \(x_j > x_i\), un vēlamies to padarīt par pozitīvu izteiksmi \(x_j − x_i\) jeb \(|x_i − x_j|\), tad jāpieskaita \(2(x_j − x_i)\), kas ir pāra skaitlis, jo \(x_j − x_i = (x_i − x_j) + 2(x_j − x_i)\). Ja mēs katru negatīvo starpību pārvērstu par pozitīvu, lai rezultātā iegūtu \(S\), kā tas aprakstīts uzdevuma nosacījumos, tad pie \(0\) būtu pakāpeniski jāpieskaita pāra skaitļi. Tātad neatkarīgi no tā, kā pa apli ir izkārtoti pirmie \(16\) naturālie skaitļi, skaitlis \(S\) vienmēr būs pāra skaitlis.