Atrisinājums

Savienosim \(B\) ar \(D\) un novilksim augstumu \(BE\) no \(B\) pret \(AD\) un augstumu \(CF\) no \(C\) pret \(BD\) (skat. 20. att.).

Tā kā vienādsānu trijstūrī \(BCD\) ir novilkts augstums pret pamatu, tad tā ir arī bisektrise un \(\sphericalangle BCF = \sphericalangle DCF = \frac{1}{2}\sphericalangle BCD = \alpha\). Ievērojam, ka trīs taisnleņķa trijstūri ir vienādi \(\triangle ABE = \triangle CBF = \triangle CDF\) pēc pazīmes \(h\ell\):

• \(AB = CB = CD\) pēc dotā;
• \(\sphericalangle BAE = \sphericalangle BCF = \sphericalangle DCF = \alpha\).

Tādā gadījumā \(BE = BF = FD\) kā vienādo trijstūru atbilstošie elementi jeb \(BE = \frac{1}{2}BD\), tātad taisnleņķa trijstūrī \(BED\) leņķis pret kateti, kas ir divas reizes īsāka nekā hipotenūza, ir \(30^{\circ}\) jeb \(\sphericalangle BDE = 30^{\circ}\) un \(\sphericalangle EBD = 60^{\circ}\). No vienādsānu trijstūra \(𝐵𝐶𝐷\) varam izteikt pamata pieleņķi \(\sphericalangle DBC = (180^{\circ} − \sphericalangle BCD) ∶ 2 = 90^{\circ} − \alpha\). No taisnleņķa trijstūra \(ABE\) varam izteikt \(\sphericalangle ABE = 180^{\circ} − \sphericalangle BAE − \sphericalangle AEB = 90^{\circ} − \alpha\). Tā kā \(\sphericalangle EBD + \sphericalangle DBC + \sphericalangle CBA + \sphericalangle ABE = 360^{\circ}\) (jo veidojas pilns leņķis), tad

\[60^{\circ} + 90^{\circ} − \alpha + 7\alpha + 90^{\circ} − \alpha = 360^{\circ}\;\;\Rightarrow\;\;\alpha=24^{\circ}.\]

Atrisinājums

Vispirms atliekam punktus \(B'\) un \(C'\), kas ir attiecīgi punktu \(B\) un \(C\) simetriskie punkti attiecībā pret taisni \(AD\) (skat. 21. att.).

Savienojam punktus \(B\) un \(D\), kā arī \(B'\) un \(D\). Rezultātā izveidosies trīs vienādsānu trijstūri: \(\triangle ABB'\), \(\triangle B'C'D\) un \(\triangle CBD\). Šie trijstūri ir savā starpā vienādi pēc pazīmes \(m\ell{}m\), jo to virsotnes leņķi \(\sphericalangle B'AB = \sphericalangle BCD = \sphericalangle DC'B'\) un sānu malu garumi ir savstarpēji vienādi. Tātad \(\triangle BB'D\) ir vienādmalu trijstūris un \(\sphericalangle B'BD = 60^{\circ}\). Tā kā \(\triangle ABB'\) ir vienādsānu, tad tā pamata leņķis \(\sphericalangle ABB'=90^{\circ} - \alpha\). Līdzīgi varam spriest par \(\triangle CBD\) pamata leņķi \(\sphericalangle CBD = 90^{\circ} - \alpha\).

Tagad aplūkojam četrstūra \(ABCD\) iekšējo leņķi \(\sphericalangle ABC\). Izmantojot doto, iegūstam, ka tā lielums ir \(\sphericalangle ABC = 360^{\circ} − 7\alpha\). No otras puses, tas ir vienāds ar

\[\sphericalangle ABB' + \sphericalangle B'BD + \sphericalangle CBD = 90^{\circ} - \alpha + 60^{\circ} + 90^{\circ} - \alpha = 240^{\circ} - 2\alpha\]

\[360^{\circ} − 7\alpha = 240^{\circ} − 2\alpha \;\;\Rightarrow\;\; \alpha = 24^{\circ}.\]