Dota rūtiņu tabula \(n \times n\). Ilmārs un Kims spēlē šādu spēli. Viņi pēc kārtas kādā vēl tukšā rūtiņā ieraksta skaitli \(1\) vai \(-1\). Spēli sāk Ilmārs. Ja pēc kāda spēlētāja gājiena tiek aizpildīta kāda rinda vai kolonna, tad tiek aprēķināts tajā esošo skaitļu reizinājums. Ja tas ir vienāds ar \(-1\), tad spēlētājs, kurš veica pēdējo gājienu, iegūst \(1\) punktu (ja spēlētājs ar savu gājienu vienlaicīgi pabeidz gan rindu, gan kolonnu un katrā skaitļu reizinājums ir \(-1\), tad viņš iegūst divus punktus). Spēle beidzas, kad tabula ir pilnībā aizpildīta. Uzvar spēlētājs, kurš iegūst visvairāk punktu. Kuram spēlētājam ir uzvaroša stratēģija, ja (A) \(n = 2021\); (B) \(n = 2022\)?
(A) Ja \(n=2021\), uzvar Ilmārs. Pirmajā gājienā viņš centrālajā rūtiņā ieraksta skaitli \(-1\), bet tālākajos gājienos spēlē simetriski attiecībā pret centrālo rūtinu un Kima gājienu. Tādā gadījumā, ja Kims pēc sava gājiena iegūs kādu punktu, Ilmārs simetriski arī iegūs punktu. Tātad Ilmārs iegūs tieši tikpat punktu, cik Kims. Papildus tam varam ievērot, ka Ilmārs būs tas, kurš aizpildīs vidējo rindu un vidējo kolonnu simetrijas dēl. Tā kā visi skaitļi tajās būs simetriski, izņemot to, ka pa vidu ir ierakstīts \(-1\), tad varam secināt, ka reizinājums būs \(-1\) un Ilmārs iegūs papildu \(2\) punktus, kas ļaus viņam uzvarēt.
(B) Ja \(n=2022\), uzvar Kims. Viņš katru savu gājienu veic simetriski pret vertikālo tabulas simetrijas asi un Ilmāra gājienu, izņemot tos brīžus, kad viņam ir jāveic gājiens rindā, kurā ir atlikusi tieši viena tukša rūtiņa. Tajos brīžos viņš izvēlas tādu skaitli, lai šīs rindas reizinājums būtu \(-1\). Simetrijas dēl Kims vienmēr būs tas, kurš aizpilda kādu rindu, un šī stratēǵija garantēs viņam \(2022\) punktus par rindām. Papildus varam ievērot, ka simetrijas dēļ katru reizi, kad Ilmārs aizpildīs kādu kolonnu, tad nākamajā gājienā Kims aizpildīs simetrisko kolonnu. Līdz ar to Ilmārs aizpildīs tieši \(1011\) kolonnas, kas viņam dod ne vairāk kā \(1011\) punktus. Tātad Kims uzvarēs.