Pierādīt, ka katru naturālu skaitli, kas ir lielāks nekā \(3\), var vienā vienīgā veidā izteikt kā trīs naturālu skaitļu \(x,y,z\) (\(x \leq y \leq z\)) summu tā, lai skaitļiem \(x\), \(y\), \(z\) izpildītos nevienādība
\[x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz \leq 1.\]
Ievērosim, ka
\[\begin{gathered} (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2}+y^{2}-2 y z+z^{2}+z^{2}-2 x z+x^{2}= \\ =2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-x z\right) \leq 2 \end{gathered}\]
Tātad \((x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \leq 2\). No iegūtās nevienādības izriet, ka vienīgie iespējamie skaitļu trijnieki \((x ; y ; z)\), kas apmierina to, ir \((k;k;k)\), \((k;k;k+1)\) un \((k;k+1;k+1)\). Tas nozīmē, ka ar pirmo trijnieku var izteikt visus skaitļus, kuri ir kongruenti ar skaitli \(0\) pēc moduļa \(3\); ar otro trijnieku var izteikt visus skaitļus, kuri ir kongruenti ar skaitli \(1\) pēc moduļa \(3\) un ar trešo trijnieku var izteikt visus skaițus, kuri ir kongruenti ar skaitli \(2\) pēc moduļa \(3\). Var redzēt, ka iegūtais sadalījums katru reizi ir unikāls.