Atrisinājums-1

Pirmkārt pamatosim, ka no jebkuriem trīs deputātiem vismaz kādi divi ir paspieduši viens otram roku. Pieņemsim pretējo, ka kādi trīs deputāti nav savā starpā izdarīuši nevienu rokasspiedienu. Paņemsim jebkurus divus no tiem, tad tie kopā ir izdarijuš̌i lielākais četrus rokasspiedienus (katrs ar diviem atlikušajiem deputātiem) - pretruna. (1)

Otrkārt pamatosim, ka katrs deputāts ir izdarijis vismaz divus rokasspiedienus. Pieņemsim pretējo, ka kāds deputāts ir izdarīijs tikai vienu (vai nevienu) rokasspiedienu. Apzīmēsim šo deputātu ar \(X\) un vienu no deputātiem, kam viņš nepaspieda roku, apzīmēsim ar Y. Deputāts \(X\) ir paspiedis roku ne vairāk kā vienu reizi, bet deputāts \(Y\) - ne vairāk kā trīs reizes (jo viņš nepaspieda roku deputātam \(X\)), tātad abi kopā viņi ir paspieduši roku ne vairāk kā 4 reizes - pretruna. (2)

Treškārt ievērosim, ka, ja kādi divi deputāti nepaspieda viens otram roku, tad vismaz viens no viniem paspieda roku visiem trim pārējiem (ja abiem būtu kāds "izlaists" rokasspiediens, tad abiem kopā būtu lielākais \(2+2=4\) rokasspiedieni). (3)

Pieņemsim, ka kādi divi deputāti nepaspieda viens otram roku (ja visi paspieda, tad tos var sēdināt patvalīgi) un nosēdināsim tos vietās \(A\) un \(C\) (skat. 14. att.), vietā \(C\) sēdināsim to, kurš paspieda roku visiem pārējiem (no (3) tāds noteikti ir). Turpmāk šos divus deputātus sauksim par \(A\) un \(C\).

Iespējami divi gadīumi:

• ja arī \(A\) ir paspiedis roku visiem trim pārējiem, tad atlikušos nosēdināsim vietās \(B\), \(D\) un \(E\) tā, lai vietās \(D\) un \(E\) sēdētu kādi, kas ir paspieduši viens otram roku (no (1) tādi noteikti ir). Ar to prasītais būtu panākts.

• ja \(A\) nav paspiedis roku vēl kādam deputātam, tad nosēdināsim to vietā \(E\) (un turpmāk sauksim par deputātu \(E\)). Deputāts \(A\) noteikti ir paspiedis roku abiem atlikušajiem deputātiem (citādi viņš būtu izdarījis tikai vienu rokasspiedienu). Deputāts \(E\) noteikti ir paspiedis roku vismaz vienam no atlikušajiem diviem deputātiem (citādi \(E\) būtu izdarīis tikai vienu rokasspiedienu), šo deputātu nosēdināsim vietā \(D\). Redzams, ka ar šo prasītais ir panākts.

Atrisinājums-2

Uzskatīsim, ka, ja kādi deputāti nepaspieda viens otram roku, tad viņi savstarpēji viens otru ienīst. No dotā izriet, ka, ja kādi divi deputāti viens otru ienīst, tad abi kopā viņi ienīst vēl lielākais vienu citu deputātu. No šī viegli redzēt, ka deputāts var ienīst lielākais divus citus deputātus. Mūsu uzdevums ir sasēdināt tos ap galdu tā, lai blakus nesēdētu divi, kas ienīst viens otru.

Pieņemsim, ka ir kāds deputāts, kas ienīst divus citus deputātus. Nosēdināsim šo deputātu vietā A (skat. 14. att.) un tos, ko vinš ienīst -- vietās \(C\) un \(D\) (tālāk sauksim šos deputātus attiecīgi par \(A, C\) un \(D\)). Ievērosim, ka visi trīs šie deputāti neienīst nevienu no abiem pārējiem. Patiešām, tā kā \(A\) un \(C\) ienīst viens otru un \(A\) ienīst vēl arī \(D\), tad tie ( \(A\) un \(C\) ) nevar ienīst vairs nevienu citu. Tādu pašu spriedumu var izveikt arī par \(A\) un \(D\). Tātad, abus atlikušos deputātus nosēdinot vietās \(B\) un \(E\), prasītais ir panākts.

Atliek aplūkot gadījumu, kad katrs deputāts ienīst lielākais vienu citu deputātu. Tad mums ir lielākais divi pāri deputātu, kas viens otru ienīst, nosēdinot tos ne blakus (piemēram, vietās \(A\)-\(C\) un \(B\)-\(D\)) prasītais būs panākts.