Atrisinājums-1

Ja \(n=3\), tad der skaitļi \(2, 3\) un \(6\), jo \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1\).

Tālāk izmantosim vienādību \(\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\) jeb vispārīgā formā \(\frac{1}{3k}=\frac{1}{4k}+\frac{1}{12k}\).

Tad no vienādības \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1\), aizvietojot \(\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\), iegūstam derīgus skaitlus, ja \(n=4\):

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1\]

Ievērojam, ka gan iepriekš, gan tagad izteiksmē ir divi saskaitāmie, kuru saucējs dalās ar \(3\). No šīm abām daļām izvēlamies mazāko daļu \(\frac{1}{6}\), aizvietojam to ar \(\frac{1}{8}+\frac{1}{24}\) un iegūstam derīgus skaitļus, ja \(n=5\):

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}=1\]

Atkal ir divas daļas, kuru saucējs dalās ar \(3\). Šādi varam turpināt neierobežoti ilgi un lielākais saucējs vienmēr būs formā \(3 \cdot 2^{n-2}\).

Atrisinājums-2

Ar matemātiskās indukcijas metodi pierādīsim, ka jebkuram \(n>2\) derīgu skaitļu komplektu veido šādi \(n\) skaitli:

\[2^{1}<2^{2}<\cdots<2^{n-2}<3 \cdot 2^{n-3}<3 \cdot 2^{n-2}\]

Indukcijas bāze. Ja \(n=3\), tad skaitļu komplekts \(2<3<6\) der, jo \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1\). Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka šāda veida skaitļu komplekts ir derīgs vērtībai \(n=k\), kur \(k>3\):

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-3}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-2}}=1\]

Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ka šāda veida skaitļu komplekts ir derīgs vērtībai \(n=k+1\):

\[\begin{gathered} \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{2^{k-1}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-1}}= \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-1}}+\frac{1}{2^{k-1}}= \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-2}}+\frac{1}{2^{k-1}}\left(\frac{1}{3}+1\right)= \\ \quad=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-2}}+\frac{1}{2^{k-1}} \cdot \frac{4}{3}= \\ \quad=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-3}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-2}} \end{gathered}\]

Pēc induktīvā pieņēmuma šīs izteiksmes vērtība ir \(1\), tātad skaitļu komplekts ir derīgs, un prasītais pierādīts.