Pierādīt, ka katram \(n>2\) var atrast tādus \(n\) atšķirīgus naturālus skaitļus \(a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n} \leq 3 \cdot 2^{n-2}\), ka
\[\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=1\]
Ar matemātiskās indukcijas metodi pierādīsim, ka jebkuram \(n>2\) derīgu skaitļu komplektu veido šādi \(n\) skaitli:
\[2^{1}<2^{2}<\cdots<2^{n-2}<3 \cdot 2^{n-3}<3 \cdot 2^{n-2}\]
Indukcijas bāze. Ja \(n=3\), tad skaitļu komplekts \(2<3<6\) der, jo \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1\). Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka šāda veida skaitļu komplekts ir derīgs vērtībai \(n=k\), kur \(k>3\):\[\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-3}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-2}}=1\]
Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ka šāda veida skaitļu komplekts ir derīgs vērtībai \(n=k+1\):\[\begin{gathered} \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{2^{k-1}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-1}}= \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-1}}+\frac{1}{2^{k-1}}= \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-2}}+\frac{1}{2^{k-1}}\left(\frac{1}{3}+1\right)= \\ \quad=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-2}}+\frac{1}{2^{k-1}} \cdot \frac{4}{3}= \\ \quad=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k-2}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-3}}+\frac{1}{3 \cdot 2^{k-2}} \end{gathered}\]
Pēc induktīvā pieņēmuma šīs izteiksmes vērtība ir \(1\), tātad skaitļu komplekts ir derīgs, un prasītais pierādīts.