Zināms, ka divu dotu racionālu skaitlu summa un reizinājums ir veseli skaitļi.
(A) Pierādīt, ka dotie skaitļi paši ir veseli.
(B) Vai apgalvojums paliek spēkā, ja nav zināms, ka dotie skaitļi ir racionāli?
Apzīmēsim dotos skaitlus ar \(x\) un \(y\). Tad
\[\left\{ \begin{array}{l} x + y = n\\ xy = m \end{array} \quad \Rightarrow \quad x + \frac{m}{x} = n \quad \Rightarrow \quad x^2 + m = nx.\]
Pien̦emsim, ka \(x=\frac{p}{q}\) nesaīsināma daļa un \(q>1\). Pēc pārveidojumiem iegūstam vienādību \(p^{2} = q(np-qm)\). Šī vienādība nav iespējama, jo vienādības labās puses izteiksme dalās ar \(q\), bet kreisās puses izteiksme nedalās (\(p\) un \(q\) nav kopīgu dalītāju). Tātad \(x\) (un līdz ar to arī \(y\)) ir veseli skaitļi. Iracionāliem skaitliem apgalvojums nav spēkā. Piemēram, skaitļiem\[x=2+\sqrt{2}, \quad y=2-\sqrt{2}\]
gan summa, gan reizinājums ir veseli skaitļi.